2015中考数学 总复习课件：第8讲 列方程(组)解应用题

数学第二章方程与不等式第8讲列方程(组)解应用题要点梳理1．列方程(组)解应用题的一般步骤(1)；(2)；(3)找出包含未知数的；(4)；(5)；(6)．审题设元等量关系列出方程（组）求出方程（组）的解检验并作答要点梳理2．各类应用题的等量关系(1)行程问题：路程＝速度×时间；相遇问题：两者路程之和＝全程；追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程．(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．要点梳理(3)几何图形问题：面积问题：S长方形＝ab(a，b分别表示长和宽)；S正方形＝a2(a表示边长)；S圆＝πr2(r表示圆的半径)；体积问题：V长方体＝abh(a，b，h分别表示长、宽、高)；V正方体＝a3(a表示边长)；V圆锥＝13πr2h(r表示底面圆的半径，h表示高)；其他几何图形问题：如线段、周长等．要点梳理(4)增长率问题：如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系是：a(1±x)n＝A.(5)利润问题：利润＝销售价－进货价＝标价×折扣(x10)－进货价(x表示打x折)；利润率＝利润进货价；销售价＝(1＋利润率)×进货价．(6)利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息．一种思想方法方程思想是把未知数看成已知数，让所设未知数的字母和已知数一样参加运算．这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志．两种设元方法(1)直接设元．在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，再用这个未知数表示另一个未知量．这种设未知数的方法叫做直接设元法．(2)间接设元．如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法．三个注意列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须注意：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等．二元一次方程组的应用【例1】(2014·呼和浩特)为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4，5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4，5月份的电费分别为多少元．解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，由题意，得180x＋150y＝213，180x＋60y＝150，解得x＝0.6，y＝0.7，则4月份电费为160×0.6＝96(元)，5月份电费为180×0.6＋230×0.7＝108＋161＝269(元)．即这位居民4月份的电费为96元，5月份的电费为269元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．2．(2014·济南)2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元．其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张．解：设小李预定了小组赛球票x张，淘汰赛球票y张，由题意有x＋y＝10，550x＋700y＝5800，解之x＝8，y＝2，即小李预定了小组赛球票8张，淘汰赛球票2张分式方程的应用【例2】(2013·安徽)某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样，求x.解：(1)(4000＋25x)元(2)购买每副乒乓球拍用去了x元，则购买每副羽毛球拍用去了(x＋20)元，由题意得2000x＝2000＋25xx＋20，解得x1＝40，x2＝－40，经检验，x1，x2都是原方程的根，但x＞0，∴x＝40.即每副乒乓球拍的价格为40元【点评】分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．2．(2014·威海)端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？解：设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为(1＋20%)x元，由题意得300（1＋20%）x＋400x＝260，解得x＝2.5，经检验：x＝2.5是原分式方程的解，(1＋20%)x＝3，则买甲粽子为3003＝100个，乙粽子为4002.5＝160个．即乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个一元二次方程的应用【例4】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元，根据题意得(45－x)(20＋4x)＝2100，解得x1＝10，x2＝30，因应尽快减少库存，故x＝30.即每件衬衫应降价30元【点评】(1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．3．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米．解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米，20米试题甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．错解解：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米，得3x＋3y＝30－3，30－（3＋2）x＝2[30－（3＋2）y]，解得x＝4，y＝5.答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米．•剖析•(1)一道应用题，究竟列一元一次方程予以解决为好，还是列二元一次方程组为好，要具体分析．一般来说，列一元一次方程时，在列方程的思考上，难度稍大；而列方程组，由于把思考量分摊到两个方程上，降低了列方程的难度，但解方程过程的运算量较大．因此，对于思考量较低或中等的应用题，列一元一次方程为宜；对于思考量或思考难度都很大的应用题，列方程组解决为宜．•(2)有些应用题，由于题目所给条件比较隐蔽，符合题意的情况有多种，解这类应用题时要考虑周全，把各种情况下的解全求出来，这样不致于失解，否则会造成解答不完整，犯以偏概全的错误；•(3)分类的思想方法实质上就是按照数学对象的共同性质和差异性，将其区分为不同种类的思想方法，分类讨论的思想方法在代数中应用极其广泛，例如实数的分类，代数式的分类，方程和函数的分类等等，可以把整个代数看作一个分类讨论的系统．解此类问题强调：要有分类意识；找出科学的分类标准；分类时满足不重复、不遗漏、最简单原则．正解解：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米．①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，得3x＋3y＝30－3，30－（3＋2）x＝2[30－（3＋2）y]，解得x＝4，y＝5.②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得3x＋3y＝30＋3，30－（3＋2）x＝2[30－（3＋2）y]，解得x＝513，y＝523.答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米；或甲的速度为每小时513千米，乙的速度为每小时523千米．