1.1菱形的性质与判定(1)

第一章特殊平行四边形第1节菱形的性质与判定（一）四边形平行四边形性质判定边角对角线对称性温故而知新对边平行且相等对角相等互相平分中心对称图形ABCD两组对边分别平行的四边形定义观察下面图片中的四边形，有何特征？这种特殊平行四边形特殊在哪里？我们称它为菱形，你能给菱形下定义吗？一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（rhombus）菱形的定义菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？CBDA根据图形，从下面四个方面猜测菱形具有的性质（1）边（2）角（3）对角线（4）对称性ABCDO菱形的性质探索对边邻边相等（定义）相等平行相等互相平分互相垂直对边平行，四边相等菱形具有平行四边形的性质轴对称（2条）、中心对称图形对角邻角----互补（大题需证）菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角用菱形纸片折一折ABCDO通过折纸，你能发现菱形具有哪些特殊的性质？菱形是轴对称图形。ABCDO菱形的性质定理：菱形的四条边都相等几何语言∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA定理：菱形的对角线互相垂直几何语言∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO相等的线段：相等的角：等腰三角形有：直角三角形有：全等三角形有：已知四边形ABCD是菱形AB=CD=AD=BCOA=OCOB=OD∠DAB=∠BCD∠ABC=∠CDA∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°∠1=∠2∠3=∠4∠5=∠6∠7=∠8△ABC△DBC△ACD△ABDRt△AOBRt△BOCRt△CODRt△DOARt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA△ABD≌△BCD△ABC≌△ACDABCDO12345678已知:如图,在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC,BD相交于点O.证明:（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD．求证:（1）AB=BC=CD=DA.（2）AC⊥BDABCDO（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形．又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）．∴AO⊥BD，(等腰三角形三线合一）即AC⊥BD．例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长ADCBO解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD（菱形的四条边相等），AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），OB=OD=1/2BD=1/2×6=3AC=2OA（菱形的对角线互相平分）．在等腰三角形ABD中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形．∴AB=BD=6．在Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2，∴OA=．∴AC=2OA=22226333ABOB63两条对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角对边平行且相等边对角线角四条边都相等菱形的对角相等，邻角互补ADCBO对称性中心对称：对角线的交点就是对称中心轴对称：有两条对称轴即：两条对角线所在的直线随堂练习、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长．解：∵在菱形ABCD中，AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），BD=2OB（菱形的对角线互相平分）在Rt△AOB中，由勾股定理，得∴OB=．∴BD=2OB=62222543ABOA习题1.11．已知：如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B．求证：△ABC是等边三角形．解：∵在菱形ABCD中，∴AB=BC（菱形的四边相等），AD//BC（菱形的对边平行），∴∠BAD+∠B=180°∵∠BAD=2∠B，∴3∠B=180°，即∠B=60°∴△ABC为等边三角形2．如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周长．解：在菱形ABCD中，AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），OB=OD=1/2BD=1/2×6=3OA=OC=1/2AC=1/2×6=4（菱形的对角线互相平分）．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AD=5∴菱形ABCD的周长为4AD=20（菱形的四边相等）3．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．求证：AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC．解：在菱形ABCD中，AD=AB（菱形的四边相等）．AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），OB=OD（菱形的对角线互相平分）．∴在等腰△ABD中，AC平分∠BAD（等腰三角形三线合一）同理可得，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC