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1平行四边形典型问题分类解析为了开阔同学们的视野,特就一些平行四边形典型问题分类选解几例,希望同学们从中得到启示.1.证明线段垂直例1已知:如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,M为AB的中点,求证:CM⊥DM.分析:根据平行四边形的性质,不仅对角相等,而且相邻角的角也互补,这就为证明垂直提供了充分的条件.又有已知中AB=2BC和M为AB的中点,可以得到相等的角.其中有内错角相等,也有等边对等角性质的应用,使∠CDM+∠DCM=90,可使问题得到解决.证明:在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,∴∠AMD=∠CDM,∠BMC=∠DCM,∵AB=2BC,M是AB的中点,∴AD=AM=BM=BC.∴∠ADM=∠AMD,∠BMC=∠BCM∴∠ADM=∠CDM,∠BCM=∠DCM,∴∠CDM=21∠ADC,∠DCM=21∠BCD.又∠ADC+∠BCD=180,∴∠CDM+∠DCM=90,即∠DMC=90.∴CM⊥DM.评析:本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质,证明了CM、DM所在的三角形两锐角互余,由三角形内角和定理得出∠DMC=90,从而得到结论.这是证明两线段互相垂直的常用方法.2.证明线段平行例2如图,AB、CD交于点O,AC∥DB,AO=BO,E、F分别为OC、OD的中点,连结AF、BE.求证:AF∥BE.分析:从已知条件可证△AOC≌△BOD,得到OC=OD,又有E、F为OC、OD中点,则OE=OF,判定四边形AFBE为平行四边形,即有AF∥BE.证明:连结BF、AE,∵AC∥DB,∴∠C=∠D.在△AOC和△BOD中,有.,,BOAOBODAOCDC∴△AOC≌△BOD,∴OC=OD.又E、F为OC、OD的中点,∴OE=OF,∴四边形AFBE是平行四边形,∴AF∥BE.AMDBC例1图ACOFBDE例2图2评析:学习了平行四边形以后,又多了一种证明平行线的方法.3.证明线段相等例3如图,△ABC中,AB=AC,P是BC上的一点,PE∥AC,PF∥AB,分别交AB、AC于E、F,请猜出线段PE、PF、AB之间存在什么关系,并证明你的猜想.分析:从已知条件中不难证明PF=AE,PE=BE,从而PE、PF、AB之间满则关系式PE+PF=AB.即猜想结论:PE+PF=AB.证明:∵PE∥AC,∴∠BPE=∠C.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BPE=∠B,∴PE=BE.PE∥AC,PF∥AB,∴四边形AEPF是平行四边形,∴PF=AE.∵BE+AE=AB,∴PE+PF=AB.评析:在解决此类探索性问题时,一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论,这就是对猜想问题的常用解题思路.4.求线段的长度例4如图,在四边形ABCD中,AB=6,BC=8,∠A=120,∠B=60,∠C=150,求AD的长.分析:要求AD的长度,需要借助辅助线把问题转化,由∠A和∠B的关系可以判定AD∥BC,这样不妨过点C作AB的平行线,构成一个平行四边形,然后利用角之间的关系与平行四边形的性质,使问题得以解决.解:点C作CE∥AB交AD于E,∵∠A+∠B=180,∴AD∥BC,∴四边形ABCE是平行四边形.∴AE=BC=8,CE=AB=6,∠BCE=∠A=120.又∵∠BCD=150,∴∠DCE=30.而∠D=360-120-60-150=30,∴∠D=∠DCE=30,∴DE=CE,∴AD=8+6=14.评析:在判定AD∥BC后,辅助线的添加是解题的关键,虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律可循,但可以通过分析已知条件与待求结论,从中得到启发,从而正确地作出辅助线.DCBAE例4图EBPCFA例3图3证题技巧—面积法由于等底等高的三角形的面积等于平行四边形面积的一半;相似三角形面积的比等于相似比的平方;等高三角形面积的比等于底的比,等底三角形面积的比等于高的比;同底(或等底)等高(同高)的三角形的面积相等.因此,题目中如有平行线、角平分线或等底等高的三角形时,可试用面积法处理。[例1]已知:如图1.ABCD,F、E分别在BC、CD上,DG⊥AF于G,BH⊥AE于H,若DG=BH,则AF=AE证明:连结BE、DF∵S△ABE=SABCDS△ADF=SABCD∴S△ABE=S△ADF∵DG⊥AFBH⊥AE∴S△ABE=AE.BHS△ADF=AF.DG∵DG=BH∴AF=AE[例2]如图2,OO1和OO2外切于点P,AB过点P交OO1和OO2于A、B,BH切OO2于B,交OO1于C、H,(1)求证:△BCP∽△HAP12121212图1图24(2)若AP∶PB=3∶2且C为AB中点,求HA∶BC证明(1)过点P作两圆的公切线交BH于点E由切线长定理知BE=PE所以∠2=∠3由弦切角定理知∠4=∠5又∠4=∠3所以∠5=∠2又∠1是圆内接四边形APCH的外角,所以∠1=∠A所以△BCP∽△HAP(2)因为△BCP∽△HAP所以因为△HAP和△BHP同高.所以又△HBP和△BCP同高.且C为BH的中点,所以,所以,所以,[例3]已知:如图3,S△ABC=20DE∥BC,,S△BDE=y写出y与x之间的函数关系式解:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴S△ADE=20x2又△ADE和△BDE同高S△HAPS△PBC2HABC=S△HAPS△PBHAPPB==32S△BCPS△PBHBCBH==12S△HAPS△PBC=3HABC=3ADAB=xS△ADES△BDEADBD==x1-xS△ADES△ABC2ADAB==x2∴∴5y=20x-20x2EDCBAlQPDCBA练习:已知如图4,平行四边形ABCD中,AB=3,AD=5,P是BC上任一点,PQ∥AB交AC于点Q,BP=x,求S四边形PCDQ∴图3图4
本文标题:平行四边形典型问题分类解析
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