正余弦定理在实际应用中的应用

1第1章1.2.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m解析：在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°∴∠ABC＝30°，由正弦定理：ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC∴AB＝AC·sin∠BCAsin∠ABC＝50×sin45°sin30°＝502m．故选A.答案：A2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(15＋33)mB．(30＋153)mC．(30＋303)mD．(15＋303)m解析：由正弦定理可得60sin45°－30°＝PBsin30°，PB＝60×12sin15°＝30sin15°，h＝PBsin45°＝30sin45°sin15°＝(30＋303)m.故选C.答案：C3．某海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°角，从B岛望C岛和A岛成75°角，则B，C两岛之间的距离是()A．103海里B.1063海里C．52海里D．56海里解析：如图所示，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，所以C＝45°，2由正弦定理BCsinA＝ABsinC，得BC＝AB·sinAsinC＝10sin60°sin45°＝56(海里)．答案：D4．如右图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析：由A与B不可到达，故不易测量α，β，故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．解析：由题意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理BC＝ABsin∠ACB·sin∠BAC＝30sin15°·sin30°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt△BDC中，CD＝22BC＝15(3＋1)38.答案：无6．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.解析：由题意可知：在△BCD中，∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，则∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°.由正弦定理可得：BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝30×1222＝152.又在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝BC·tan∠ACB＝152×3＝156(米)．3答案：156米三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°，sin41°＝37)解析：连结BC，由余弦定理得BC2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700.于是，BC＝107.∵sin∠ACB20＝sin120°107，∴sin∠ACB＝37，∵∠ACB90°，∴∠ACB≈41°，∴乙船应朝北偏东约41°＋30°＝71°的方向沿直线前往B处救援．8．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解析：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝3≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，由正弦定理sin∠ACB＝sin30°AC·AB＝32，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1.∵BC12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．4答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间？解析：由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°BC＝203海里在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)答：救援船到达D点需要1小时．