高中数学必修四-第三章：三角恒等变换

-1-必修四第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()coscossinsin两角和的余弦：coscoscossinsin两角和的正弦：sinsincoscossin两角差的正弦：sinsincoscossin两角和的正切：tantantan1tantan两角差的正切：tantantan1tantan注意：对于正切,,()222kkkkz．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin,5是第四象限角，求sin,cos,tan444的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值。-2-例题3.已知sin=32，)sin(=51，求tantan的值。例题4.cos13计算sin43cos43-sin13的值等于（）A．12B．33C．22D．32例题5.已知sinsinsin0,coscoscos0,求cos()的值.例题6.已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为225,105（1）求tan()的值；（2）求2的值。-3-例题8.设ABC中，33tanAtanBtanAtanB，34sinAcosA，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1.求值（1）sin72cos42cos72sin42；（2）cos20cos70sin20sin70；练习2.0000sin45cos15cos225sin15的值为3（A）-21（B）-21（C）23（D）2练习3.若tan3，4tan3，则tan()等于（）Ａ．3Ｂ．13Ｃ．3Ｄ．13练习4.已知，为锐角，1tan7，10sin10，求2.-4-考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式中，当TCS,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,SCT：sin2sinsincoscossin2sincos；22cos2coscoscossinsincossin；22222cos2cossin1sinsin12sin；22222cos2cossincos(1cos)2cos1．2tantan2tantan2tan1tantan1tan．注意：2,22kkkz二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24是的二倍，332是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos22cos，21cos22sin降幂公式：2sin21cossin；22cos1sin2；22cos1cos2.【典型例题讲解】例题l.下列各式中，值为32的是（）A．2sin15cos15B．22cos15sin15C．22sin151D．22sin15cos15例题2.．已知1sincos5，且432，则cos2的值是．-5-例题3.化简0000cos10cos20cos30cos40例题4.23sin702cos10（）A．12B．22C．2D．32例题5.已知02x，化简：2lg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)24xxxxx.例题6.若42x，则函数3tan2tanyxx的最大值为。例题7.已知2tan3tanAB，求证：sin2tan()5cos2BABB.例题8.试以cos表示222sin,cos,tan222．-6-【巩固练习】练习1.)12sin12(cos(cos12＋sin12)＝（）A．－23B．－21C．21D．23练习2.若△ABC的内角A满足322sinA，则sincosAA=（）A.315B.315C.35D.35练习3.计算3coscos55练习4.已知函数12sin(2)4()cosxfxx，（1）求()fx的定义域；（2）设是第四象限的角，且4tan3，求()f的值.练习5.证明22cossin12π2sin()41tan.1tan-7-考点三：辅助角公式222222sincos(sincos)mnymanamnaamnmn22222222222222cos,sin(()()1)11(sincoscossin)sin()mnmnmnmnmnmnyaaamnmn令则【典型例题讲解】例题1.求函数sin3cosyxx的周期，最大值和最小值,单调区间,对称轴，对称中心，如何由y=sinx平移得到．例题2.函数2()2cossin2fxxx的最小值是。例题3.设函数22()(sincos)2cos(0)fxxxx的最小正周期为23．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数()ygx的图像是由()yfx的图像向右平移2个单位长度得到，求()ygx的单调增区间．-8-例题4.已知函数)(xf＝)0,0)(cos()sin(3πxx为偶函数，且函数)(xfy图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求)8(f的值；（Ⅱ）将函数)(xfy的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数)(xgy的图象，求)(xg的单调递减区间.例题5.已知函数2()(1cot)sinsin()sin()44fxxxmxx．（1）当0m时，求()fx在区间3,84上的取值范围；（2）当tan2时，3()5f，求m的值．-9-【巩固练习】练习1.若方程sin3cosxxc有实数解，则c的取值范围是___________.练习2.函数3sin4cos5yxx的最小正周期是（）A.5B.2C.D.2练习3.若函数()(13tan)cosfxxx，02x，则()fx的最大值为A．1B．2C．31D．32练习4.已知函数2()(1cos2)sin,fxxxxR，则()fx是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为2的偶函数练习5.设函数2()sin()2cos1468xxfx．（Ⅰ）求()fx的最小正周期．（Ⅱ）若函数()ygx与()yfx的图像关于直线1x对称，求当4[0,]3x时()ygx的最大值．【方法总结】：三角恒等变换的基本题型-10-三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：1．三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．2．三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．3．三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．三角函数的化简、证明、求值做题技巧总结三角函数的化简、证明、计算的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观-11-察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:1、巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22，222等例题1、已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_____例题2、已知02，且129cos()，223sin()，求cos()的值例题3、已知sincos21,tan()1cos23，求tan(2)的值例题4、求值：140cos40cos2)40cos21(40sin2练习1.已知α(4，43)，β(0，4),cos(α－4)＝53，sin(43＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．-12-练习2.求值：0010001cos20sin10(tan5tan5)2sin202、三角函数名互化(切化弦)例题1、求值sin50(13tan10)例题2、函数()(13tan)cosfxxx的最小正周期为A．2B．32C．D．2例题3、40cos270tan10sin310cos70tan=______练习1、化简：)4(sin)4tan(21cos222-13-练习2、已知tan2，则22sinsincos2cosA.54B.45C.43D.343、公式变形使用（tantantan1tantan。例题1、已知A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB＝_____例题2、求值：0000tan20tan403tan20tan40_____________.练习1、设ABC中，33tanAtanBtanAtanB，34sinAcosA，则此三角形是____三角形4、三角函数次数的降升(降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2与升幂公式：21cos22cos，21cos22sin)。例题1、若32(,)，化简111122222cos为_____例题2、函数22cossin2yxx的最小值是_____________________.-14-练习1、函数2553f(x)sinxcosxcosx532(xR)的单调递增区间为___________练习2、设函数xxxf2sin)32cos()(.(1)求函数)(xf的最大值和最小正周期.(2)设A,B,C为ABC的三个内角，若31cosB，1()24cf，且C为锐角，求Asin.5、式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。例题1、求证：21tan1sin212sin1tan22