复数的几何意义

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2第三章数系的扩充与复数的引入成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2数系的扩充与复数的引入第三章第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-23.1数系的扩充和复数的概念第三章3.1.2复数的几何意义第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2自主预习学案第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-21.能知道复平面、实轴、虚轴等概念．2．能用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．3．能知道复数模的概念，会求复数的模．第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2重点：1.理解并掌握复数的几何意义，并能适当应用．2．复数的模．难点：复数的几何意义．第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2思维导航1．我们已知复数的代数形式z＝a＋bi(a、b∈R)，给出一组a、b的值就对应一个复数，任意一个复数也都有一组a、b的值，这与平面直角坐标系中的点，平面向量与有序实数对的对应类似，那么复数能否与平面上的点对应？复数的几何意义是什么？复平面与复数的几何意义第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2新知导学1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__________，y轴叫做__________，实轴上的点都表示实数，除了__________外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)每一个复数都由它的__________和__________唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是__________关系．实轴虚轴原点实部虚部一一对应第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是__________，不是(a，bi)．(3)复数与复平面内______________的向量也可以建立一一对应关系．如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点__________或向量__________表示．(a，b)以原点为始点Z(a，b)OZ→第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量OZ→的一一对应关系如下：第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2牛刀小试1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称[答案]B[解析]在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-22．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-23．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则()A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．b＞0，a∈RD．a＞0，b∈R[答案]D[解析]复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2思维导航2．复数与复平面内的点、平面向量有着天然的联系，复平面内的点Z到原点的距离等于以原点为起点，以Z为终点的向量的模，那么这个模对于点Z对应的复数z有无特别意义？复数的模第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2新知导学3．复数的模复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为OZ→，则OZ→的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝a2＋b2当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值．4．复数模的几何意义复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的__________．由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的__________．距离距离第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2牛刀小试4．(2014·武汉市调研)复数z＝m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]B[解析]复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应点P(3m－2，m－1)，当m1时，P在第一象限；当m23时，P在第三象限，当23m1时，P在第四象限，当m＝23时，P在y轴上，当m＝1时，P在x轴上，故选B．第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-25．复数i＋i2的模等于__________.[答案]2[解析]∵i＋i2＝－1＋i，∴复数i＋i2的模等于－12＋12＝2.第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-26．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.[答案]±15－8i[解析]设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17，∴a2＝225.a＝±15.z＝±15－8i.第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-27．求复数z1＝3＋4i及z2＝－12－2i的模，并比较它们的模的大小．[解析]|z1|＝32＋42＝5，|z2|＝－122＋－22＝32，∵5＞32，∴|z1|＞|z2|.第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2典例探究学案第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2在复平面内，若复数z＝(m2＋2m－8)＋(m2－3m＋2)i对应的点分别满足下列要求，试求复数z：(1)在虚轴上(不包括原点)；(2)在实轴负半轴上；(3)在第一、三象限的角平分线上．[分析]把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件，求出参数m的值，即得复数z.复数的几何意义第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[解析](1)若复数z对应的点在虚轴上(不包括原点)，则m2＋2m－8＝0且m2－3m＋2≠0，∴m＝－4，此时z＝30i.(2)若复数z对应的点在实轴负半轴上，则m2＋2m－80，m2－3m＋2＝0，解得m＝1，此时z＝－5.(3)若复数z对应的点在第一、三象限的角平分线上，即在直线y＝x上，即m2－3m＋2＝m2＋2m－8，∴m＝2，此时z＝0.第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[方法规律总结]1.复数的几何意义包含两种：(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标．(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识．2．有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解．第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是()A．－1B．4C．－1和4D．－1和6[答案]C[解析]由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C．[点评]复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点，切勿错误的以为虚轴不包括原点．第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.[分析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.复数模的计算[解析]解法一：设z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝a2＋b2，代入方程得a＋bi＋a2＋b2＝2＋8i，∴a＋a2＋b2＝2b＝8，解得a＝－15b＝8.∴z＝－15＋8i.第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2解法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，于是|z|＝2－|z|2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.[方法规律总结]计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2下列各复数的模不是1的为()A．－iB．iC．12－32iD．12＋12i[答案]D[解析]|12＋12i|＝122＋122＝22≠1.第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．[分析]由题目可获取以下主要信息：①已知复数及其模的范围；②求复数虚部的取值范围．解答本题可利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解．综合应用第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[解析]解法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2＜42，∴a2＜7，∴a∈(－7，7)．解法二：利用复数的几何意义，由|z|＜4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合，由32＋y2＝42得y＝±7，∴A(3，7)，B(3，－7)．由图可知：－7＜a＜7.第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[方法规律总结]解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2若z＋|z|＝2，则复数z＝__________.[答案]1[解析]∵z＋|z|＝2，∴z＝2－|z|∈R，当z≥0时，|z|＝z，∴z＝1，当z0时，|z|＝－z，此时无解，∴z＝1.第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2准确掌握复数模的几何意义已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是()A．1个圆B．线段C．2个点D．2个圆[错解]由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D．第三章3.13.1.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-2[辨析]错解中忽视了“|z|”的几何意义是“点Z到坐标原点的距离”导致错误.[正解]由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应