2017高考文科复习之不等式

1.两个实数大小关系的比较原理知识梳理a－b＞0a＞ba－b=0a=ba－b＜0a＜b2.不等式的基本性质（1）a＞bb＜a（对称性）（2）a＞b，b＞ca＞c；a＜b，b＜ca＜c（传递性）（3）a＞ba+c＞b+c（可加性）（4）a＞b，c＞da+c＞b+d（6）a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd（7）a＞b＞0an＞bn(n∈N*)na（8）a＞b＞0＞(n∈N*)nb(5)a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc例1：若0ba，0dc，则一定有（）A.cbdaB.cbdaC.dbcaD.dbca例2设a,b,c∈R,且ab,则()A.acbcB.11abC.a2b2D.a3b3例3（不等式性质的应用）(1)若1α3，－4β2，则α2－β的取值范围是________．解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α2－β的取值范围是－32，112.故填－32，112.点拨：①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和－4＜β＜2两式相减来得到α2－β的范围．②此类题目用线性规划也可解．(3)已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，则2a＋3b的取值范围是________．(2)若角α，β满足－π2αβπ2，则2α－β的取值范围是________．3.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式，称为一元一次不等式.例如，不等式x－5＜0不等式-4x－60000)axcaxc即：或（a类型一一元一次不等式的解法已知关于x的不等式(a＋b)x＋2a－3b＜0的解集为－∞，－13，则关于x的不等式(a－3b)x＋b－2a＞0的解集为________．点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．挖掘隐含条件a＋b＞0且3b－2aa＋b＝－13是解本题的关键．变式解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2.知识链接：一元二次方程与一元二次函数(1)一元二次方程的解法20(0)axbxca①因式分解法（十字相乘）②公式法：24;2bbacxa③韦达定理1212,bcxxxxaa(2)一元二次函数2(0)yaxbxca①开口方向：a0,开口向上；a0，开口向下②对称轴③顶点坐标2bxa24,24bacbaa4.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式.例如，不等式x2－5x＜0不等式-x2－5x+6022000)axbxcaxbxc即：或（a判别式△=b2-4acy=ax2+bx+c的图象(a0)ax2+bx+c=0(a0)的根ax2+bx+c0(a0)的解集ax2+bx+c0(a0)的解集△0有两相异实根x1,x2(x1x2){x|xx1,或xx2}{x|x1xx2}△=0△0有两相等实根x1=x2={x|x≠}x1x2xyOyxOR没有实根yxOx1ab2ab2函数、方程、不等式之间的关系y0y0y0y0类型一一元二次不等式的解法例1：解下列不等式：(1)x2－7x＋12＞0;(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋1＜0;(4)x2－2x＋2＞0．解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．类型二二次不等式、二次函数及二次方程的关系例2：已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数b，c的值．变式：1已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集．2230xx260xx20xaxbABab，求的值3.已知不等式的解集为A，不等式的解集为B，不等式的解集是20{32},xpxqxxpq2.已知不等式的解集是则则5.分式不等式(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．类型三分式不等式的解法例3：解下列分式不等式（1）x－12x＋1≤0（2）1－2xx＋1＞0（3）x－12x＋1≤1(1)(2)(4)0(25)xxx(2)(5)0(5)(36)xxx1(6)0(2)(3)xxx232(7)0(2)0(1)xxx（8）（x-1）6.指数不等式，对数不等式把常数化同底指数或对数，利用指数函数或对数函数的单调性解不等式类型四指数不等式、对数不等式的解法例4：解下列不等式（1）10xe（2）2log30x（3）0.1log210x（4）23log21xx（5）21122log215log13xxx类型五和一元二次不等式有关的恒成立问题例5：若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－30”为假命题，则实数m的取值范围是:变式：关于x的不等式22412axxxa恒成立，实数a的取值范围为例1解关于的不等式00652aaaxax1：讨论二次项参数分析:因为且，所以我们只要讨论二次项系数的正负.0a0x0|23axxx时，原不等式解集为：或0|23axx时，原不等式解集为：类型六带参数的一元二次不等式又不等式即为(x-2a)(x-3a)0解:原不等式可化为：0)3(2axax相应方程的两根为0)3(2axaxaxax3,221∴(1)当即时，原不等式解集为23aa0a|23xxaxa或分析:2225240aaa此不等式故只需比较两根2a与3a的大小.(2)当即时，原不等式解集为0a23aa|32xxaxa或2：讨论两个根的大小22.560(0)xxaxaa例2解关于的不等式：综上所述：0|23axxaxa时，原不等式解集为：或0|32axxaxa时，原不等式解集为：或类型3：讨论判别式的符号例3:解关于的不等式:x220xkxk原不等式解集为解：228844kkkkkkxx由于的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号.2x28kk（１）当即时，280kk80k原不等式解集为（２）当时得280kk08kk或0xx解集为：2xx解集为：分析:（３)当即时,280kk08kk或∴(a)当时,原不等式即为0k022x∴(b)当时,原不等式即为8k08822xx(3)当时,不等式解集为80k0xx(4)当时,不等式解集为0k(2)当时,不等式解集为2xx8k综上所述，(1)当时,不等式解集为8k228844kkkkkkxx228844kkkkkkxx(5)当时,不等式解集为0k解不等式042axx解：∵162a4,40a当即时R∴原不等式解集为；40a当即时,2axx原不等式解集为；440aa当或即时，,此时两根分别为21621aax21622aax，显然21xx,∴原不等式的解集为：21621622aaxaaxx〈或练习：AaxBxa．＜＜．＜＜11aaCxaDxxa．＞或＜．＜或＞xaa111101,x()0aaxa、若则不等式（）的解是（）练习的解集为（）22420xaxa,76aa,67aa2,77aa2、当a0时，不等式B.D.A.C.AA一、按二次项系数是否含参数分类：当二次项系数含参数时，按项的系数的符号分类，即分三种情况．二、按判别式的符号分类，即分三种情况小结2x三、按对应方程的根的大小分类，即分三种情况．02cbxax21,xxa0,0,0aaa121212,,xxxxxx0,0,07.绝对值不等式含绝对值号的不等式变式：已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝－3（x≤2），2x－7（2＜x＜5），3（x≥5）.∵当2＜x＜5时，－3＜2x－7＜3，∴－3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知：当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为∅；当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x＜5}．当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}．二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示_________________________________________确定区域步骤：__________、____________直线定界（画直线）特殊点定域（代原点）直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。8.二元一次不等式表示的区域及判定方法：例六：画出不等式2x+y-60表示的平面区域。xyo362x+y-602x+y-6=0≤类型六二元一次不等式(组)表示的平面区域练习：01yx0632yx画出以下不等式表示的平面区域(1)(2)2.画出不等式组表示的平面区域。3005xyxyxOXYx+y=0x=3x-y+5=0注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分。(1)310xy230(2)1xyxy60(3)03xyxyx404130210xyxyxy03434xxyxy1.画出不等式表示的平面区域2.不等式组A.三角形B.四边形C.一个不封闭区域D.不表示任何区域3.不等式组所表示的平面区域的面积是（）所表示的平面区域为（）4.已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则实数a的取值范围是5002xyyax5.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是{57aa}724aa6.解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案。（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；解题要点：二、最优解一般在可行域的顶点处取得．三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，而且还与直线Z=Ax+By的斜率有关．一、先定可行域和平移方向，再找最优解。使z=2x+y取得最大值的可行解为，且最大值为；类型六利用线性规划求线性目标函数的最优解例6.已知二元一次不等式组{x-y≥0x+y-1≤0y≥-1（1）画出不等式组所表示的平面区域；（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一次不等式组叫做x,y的；z=2x+y叫做；满足的解(x,y)都叫做可行解；使z=2x+y取得最小值的可行解，且最小值为；这两个最值都叫做问题的。线性约束条件线性目标函数线性约束条件(2,-1)(-1,-1)3-3最优解变式1：设x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≤3，x≥0，y≥0，则z＝x－2y的取值范围为________．２．设x，y满足2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2，则z＝x