2019-2020学年度最新数学高考二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与解三角形案-文科

-1-/152019-2020学年度最新数学高考二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与解三角形案-文科高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真题感悟1.(2017·全国Ⅲ卷)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A.－79B.－29C.29D.79解析sin2α＝2sinαcosα＝（sinα－cosα）2－1－1＝－79.答案A2.(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.34πB.π3C.π4D.π6解析因为b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝2b2－2b2（1－sinA）2b2，则cosA＝sinA.在△ABC中，A＝π4.答案C3.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6-2-/15C.π4D.π3解析由题意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，则sinC(sinA＋cosA)＝2sinCsinA＋π4＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋π4＝0，又因为A∈(0，π)，所以A＋π4＝π，所以A＝3π4.由正弦定理asinA＝csinC，得2sin3π4＝2sinC，则sinC＝12，得C＝π6.答案B4.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________.解析由tanα＝2得sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝15.因为α∈0，π2，所以cosα＝55，sinα＝255.因为cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝55×22＋255×22＝31010.答案31010考点整合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.(2)诱导公式：对于“kπ2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；-3-/15tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.(4)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(5)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba.2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；变形：a＝2RsinA，sinA＝a2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.(2)余弦定理在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.(3)三角形面积公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.热点一三角恒等变换及应用【例1】(1)(2017·九江一模)已知tanθ＝3，则cos32π＋2θ＝()A.－45B.－35C.35D.45(2)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为1213，－513，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则3cos2α2－sinα2·cosα2－32的值为________.-4-/15解析(1)∵tanθ＝3，∴cos32π＋2θ＝sin2θ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθ1＋tan2θ＝610＝35.(2)由题意得|OC|＝|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，所以sin∠AOB＝sinπ3－α＝513，又因为3cos2α2－sinα2cosα2－32＝3·1＋cosα2－sinα2－32＝－12sinα＋32cosα＝sinπ3－α＝513.答案(1)C(2)513探究提高1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】(1)(2017·卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝13，则sinβ＝________.(2)(2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0βπ4απ2，则α＋β的值为________.解析(1)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，-5-/15k∈Z.∴sinβ＝sin(π－α＋2kπ)＝sinα＝13.(2)因为cos(2α－β)＝－1114且π42α－βπ，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4α－2βπ2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4α＋β3π4，所以α＋β＝π3.答案(1)13(2)π3热点二正弦定理与余弦定理命题角度1利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】(2017·武汉二模)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1.(1)求B的大小；(2)若a＋c＝332，b＝3，求△ABC的面积.解(1)由2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1，得2(sinAsinC－cosAcosC)＝1，即cos(A＋C)＝－12，∴cosB＝－cos(A＋C)＝12，又0Bπ，∴B＝π3.(2)由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，∴（a＋c）2－2ac－b22ac＝12，又a＋c＝332，b＝3，∴274－2ac－3＝ac，即ac＝54，-6-/15∴S△ABC＝12acsinB＝12×54×32＝5316.【迁移探究1】若本题第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC＝332”，试求a＋c的值.解由已知S△ABC＝12acsinB＝332，∴12ac×32＝332，则ac＝6.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac，所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝21，所以a＋c＝21.【迁移探究2】在本例条件下，若b＝3，求△ABC面积的最大值.解由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，则3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤3(当且仅当a＝c＝3时取等号).所以S△ABC＝12acsinB≤12×3×sinπ3＝334.故△ABC面积的最大值为334.探究提高1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.解(1)由sinA＋3cosA＝0及cosA≠0，得tanA＝－3，又0Aπ，所以A＝2π3.由a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得28＝4＋c2－4c·cos2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，-7-/15所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·ADsinπ612AC·ADsinπ2＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.命题角度2应用正、余弦定理解决实际问题【例2－2】(2017·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米解析由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420米.在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CHsin∠CAH＝ACsin∠AHC.可得CH＝AC·sin∠CAHsin∠AHC＝1406(米).答案B探究提高1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.-8-/152.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.解析由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002(m).在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m).答案1006热点三解三角形与三角函数的交汇问题【例3】(2017·长沙质检)已知函数f(x)＝23sinxcosx－2cos2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，f(C)＝0，sinB＝2sinA，求a，b的值.解(1)f(x)＝3sin2x－2cos2x－1＝3sin2x－(cos2x＋1)－1＝3sin2x－cos2x－2＝2sin2x－π6－2，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，最小值为－4.(2)因为f(C)＝2sin2C－π6－2＝0，所以sin2C－π6＝1，又C∈(0，π)，知－π62C－π6116π，-9-/15所以2C－π6＝π2，得C＝π3.因为sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，由余弦定理得，c2