哈尔滨工程大学硕士研究生随机过程测试第5页

班级：学号：姓名：装订线第1页共4页第2页共4页哈尔滨工程大学2013级硕士研究生随机过程第三次测试1、设{(),0}Ntt为泊松过程，参数为。（1）求[()()]ENtNst（2）求[()()=]ENstNsm（3）证明对0st有{()()}=1PNsNt解：（1）[()()]=[()(()()+())]ENtNstENtNstNtNt2=[()(()())]+[())]ENtNstNtENt2=[()(()]+[())]+[())]ENtNsDNtENt222=++sttt（2）[()()=]=[()()+()()=]ENstNsmENstNsNsNsm=[()()()=]+[()()=]ENstNsNsmENsNsm=+tm（3）令=+ts，0，则+=0(){()()}={(+)()0}==1!kkPNsNtPNsNsek2、设某电话总机在t分钟内接到的电话呼叫数X(t)是具有速率为的泊松过程，试求：（1）3分钟内接到5次呼叫的概率（2）已知3分钟内接到5次呼叫，且第五次呼叫在第3分钟到来的概率解：（1）55331(3)81{(3)(0)5}5!40pPXXee（2）23{(3)(0)5,(3)(2)1}      {(2)(0)4,(3)(2)1}{(2)(0)3,(3)(2)2}          {(2)(0)2,(3)(2)3}{(2)(0)1,(3)(2)4}          {(2)(0)0,(3)(2)5}      pPXXXXPXXXXPXXXXPXXXXPXXXXPXXXXe432234553(2)(2)(2)24!3!2!2!3!4!5!211     120e3、设{,1}nXn是Markov链，状态空间为{0,1,2,3}，一步转移概率矩阵为120033130044=110022320055P（1）画出状态转移图，分析各个状态是常返性，并简述理由。（2）讨论状态空间的分解，并求每个不可约闭集的平稳分布。（3）求limnnP解：（1）状态图，0和2相通，都是正常返；1和3相通，都是正常返。（2）状态空间可以分解为两个不可约常返闭集：={0,2}{1,3}I在1={0,2}C上，对应的转移概率矩阵为12331122P由此可以得到平稳分布满足020200221121+1,+,+3232解得平稳分布为34,0,,077；在2={1,3}C对应的转移概率矩阵为13443255P由此可以得到平稳分布满足131311331332+1,+,+4545解得平稳分布为450,,0,99（3）340077450099lim=340077450099nnP装订线第3页共4页第4页共4页4、设{,1}nXn为非周期不可约马尔科夫链，状态空间为I，若对一切()jI，其一步转移概率矩阵满足条件1ijiIp。（1）证明对一切j，()1nijiIp;（2）若状态空间有限{1,2,...}Im，计算各状态的平均返回时间。解：（1）由K-F方程以及正项二重级数的收敛性质，得到10000002kkjkjikiikkkjikiijpppppp设对某个正整数K，已证得10iKijp,那么就有：10000001lljilljiKillljKiliKijpppppp故对任意正整数n及一切Ij,有：10inijp(2)由于1,nnX是有限马氏链，故必定存在平稳分布，所有状态全为正常返的，且：0limnijnjp此时，,1,0,jj是X的唯一平稳分布。该平稳分布就是极限分布，而且满足10Mjiijip，1jjMmp==5、设j是常返态，K是非常返态集，H表示所有与j互通的状态集，试证明（1）概率集Kifij,满足HKkikkkjikijpfpf（2）若j是吸收态，则Iifij,满足Ikkjikijfpf解：若kH，则1kjf；而当kH且kK时0kjf，所以：