二次根式复习专题讲义(补课用)详解

二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。②.a（a≥0）是一个非负数。③.（a）2＝a（a≥0）；2a=a（a≥0）2.二次根式的乘：①.一般的，有a·b＝ab．（a≥0，b≥0）②.反过来，有ab＝a×b(a≥0，b≥0)3.二次根式的除：①.一般地，对二次根式的除法规定：ab=ab（a≥0，b0），②.反过来，ab=ab（a≥0，b0）4.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。典型例题分析：例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0）、0、42、-2、1xy、xy（x≥0，y≥0）．例2.当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？变式题1：当x是多少时，31x在实数范围内有意义？变式题2：①.当x是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？例3.①.已知y=2x+2x+5，求xy的值．②.若1a+1b=0，求a2004+b2004的值．③.已知1xy+3x=0，求xy的值．例4.计算1．（32）22．（35）23．（56）24．（72）2例5.计算1．（1x）2（x≥0）2．（2a）23．（221aa）24．（24129xx）2变式题：计算1.（-323）22.(2332)(2332)例6.在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3例7.化简（1）9（2）2(4)（3）25（4）2(3)例8.填空：当a≥0时，2a=_____；当a0时，2a=_______，并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a=a，则a可以是什么数？（2）若2a=-a，则a可以是什么数？（3）2aa，则a可以是什么数？例9.当x2，化简2(2)x-2(12)x．例10．先化简再求值：当a=9时，求a+212aa的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．变式题1．若│1995-a│+2000a=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）变式题2．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+2(3)x+21025xx。例11．计算（1）5×7（2）13×9（3）9×27（4）12×6分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．解：（1）5×7=35（2）13×9=193=3（3）9×27=292793=93（4）12×6=162=3例12.化简（1）916（2）1681（3）81100（4）229xy（5）54例13.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49（2）12425×25=4×1225×25=41225×25=412=83变式题1：若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，那么此直角三角形斜边长是（）．变式题2：化简a1a的结果是（）．变式题3：1014=_______．√169×6变式题4：一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）223=223验证：223=22×23=2223=332(22)233=3222222222(21)221212121=223（2）338=338验证：338=23×38=338=3233331=222223(31)33(31)3313131=338同理可得：4444151555552424，……通过上述探究你能猜测出：a21aa=_______（a0）,并验证你的结论．例14．计算：（1）123（2）3128（3）11416（4）648例15．化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（4）25169xy例16．已知9966xxxx，且x为偶数，求（1+x）22541xxx的值．变式题1.计算112121335的结果是（）．变式题2.阅读下列运算过程：1333333，225255555数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简26的结果是（）．变式题3.已知x=3，y=4，z=5，那么yzxy的最后结果是_______．变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，现用直径为315cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题5.计算（1）32nnmm·（-331nmm）÷32nm（m0，n0）（2）-3222332mna÷（232mna）×2amn（a0）例17.把它们化成最简二次根式：(1)5312;(2)2442xyxy;(3)238xy总结：二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．BAC例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=1(21)2121(21)(21)=2-1，132=1(32)3232(32)(32)=3-2，同理可得：143=4-3，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121+132+143+……120022001）（2002+1）的值．练习：一、选择题1．如果xy（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A．xy（y0）B．xy（y0）C．xyy（y0）D．以上都不对2．把（a-1）11a中根号外的（a-1）移入根号内得（）．A．1aB．1aC．-1aD．-1a3．在下列各式中，化简正确的是（）A．53=315B．12=±122C．4ab=a2bD．32xx=x1x4．化简3227的结果是（）A．-23B．-23C．-63D．-2二、填空题1．化简422xxy=_________．（x≥0）2．a21aa化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a为实数，化简：3a-a1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：2．若x、y为实数，且y=224412xxx，求xyxy的值．例20.计算（1）8+18（2）16x+64x总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．例21．计算（1）348-913+312（2）（48+20）+（12-5）例22．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值．练习：一、选择题1．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22，其中错误的有（）．A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题1．在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________．三、综合提高题1．已知5≈2.236，求（80-415）-（135+4455）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（6xyx+33xyy）-（4xxy+36xy），其中x=32，y=27．例23．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BACQP例23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？例24．若最简根式343abab与根式23226abbb是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）练习：一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（结果用最简二次根式）A．52B．50C．25D．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．13100B．1300C．1013D．513二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式22323m与212410nm是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（2-1）2=（2）2-2·1·2+12=2-22+1=3-22反之，3-22=2-22+1=（2-1）2∴3-22=（2-1）2∴322=2-1求：（1）322；（2）423；（3）你会算412吗？(√3-1)（4）若2ab=mn，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．例25．计算:（1）（6+8）×3（2）（46-32）÷22例26．计算（1）（5+6）（3-5）（2）（10+7）（10-7）例27．已知xba=2-xab，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简11xxxx+11xxxx，并求值。练习：一、选择题1．（24-315+2223）×2的值是（）．A．2033-330B．330-233C．230-233D．2033-302．计算（x+1x）（x-1x）的值是（）．A．2B．3C．4D．1二、填空题1．（-12+32）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若x=2-1，则x2+2x+1=________．4．已知a=3+22，b=3-22，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题1．化简57101415212．当x=121时，求2211xxxxxx+2211xxxxxx的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．A．2x与2yB．3489ab与5892abC．mn与nD．mn与mn2．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-22xx与x+1+22xx就是互为有理化因式；x与1x也是互为有理化因式．练习：2+3的有理化因式是________