[理学]误差的处理

2020/3/26第二节测量结果的评定和不确定度测量的目的是不但要测量待测物理量的近似值，而且还要对得到的近似值的可靠性做出评定（即指出误差范围）2020/3/26一随机误差的估算在一组测量值中，设n次测量的结果分别是1.算术平均值：对于多次测量，通常用测量结果的算术平均值作为待测物理量真实值的最佳估计值，用来表示多次测量的近似真实值nxxx,,21xxniixnx112020/3/26a.误差理论证明，当测量次数有限时，测量值的标准偏差为b.意义：表示某一次测量值的随机误差在之间的概率是68.3%xx~2.测量值的标准偏差：x1)(12nxxniix2020/3/26a.当测量次数n为有限次时，算术平均值的标准偏差为b.意义：待测物理量的算术平均值在范围内的概率是68.3%，它反映了平均值接近真值的程度3.算术平均值的标准偏差：x)1()(12nnxxnniixx)(~)(xxxx2020/3/261.即因为误差的存在而对被测量不能肯定的程度2.不确定度指测量值附近的一个范围，测量值和真实值之差可能落在这个范围内。3.不确定度越小，测量结果的可信程度越高，反之，不确定度大，测量结果的可信度低。二.不确定度的含义：2020/3/26三.测量结果的表示和合成不确定度•测量结果的表示：即要包含待测量的近似真值，又包含测量结果的不确定度σ，还要反映物理量的单位。•（单位）•x为待测量；是测量的近似真实值,σ是合成不确定度xxxx2020/3/26说明：在直接测量时若不需要对被测量进行系统误差的修正，对于多次测量,取多次测量的算术平均值作为近似真实值。如果是单次测量，则该次测量值就是被测量的近似真实值。如果要对被测量进行系统误差的修正，将系统误差从算术平均值或从一次测量值中减去或加上，从而求出修正后的近似真实值。如：螺旋测微器等对于间接测量，是被测量的计算值（通过计算得到）xx（单位）xx2020/3/26注意•在标准表达式中，近似真实值、合成不确定度、单位，三者缺一不可，否则就不能全面表达测量结果。近似真实值的末尾数应该和σ的位数对齐，而且数量级，单位都要一致。•如D1=2.8800.004（cm）•D2=3.6000.004（cm）2020/3/263.不确定度的分类及合成•在讨论不确定度时，主要从随机误差和系统误差两方面综合考虑，对应有统计和非统计不确定度。•合成不确定度σ由这两种不确定度求“方和根”得到•A类不确定度•B类不确定度22BiSiSB2020/3/26B类：统计不确定度•用表示。是指可以采用统计方法（随机误差）计算的不确定度。这类不确定度认为它服从正态分布，可以利用标准偏差求A类不确定度。221111nniiiiixxxnni2020/3/26A类不确定度；非统计不确定度，用表示，是指用非统计方法求出的不确定度。例如由于测量仪器不准确，老化等引起。在此类中，由于仪器不准确造成的误差占主要地位，所以，A类不确定度常用仪器的误差表示。为仪器的误差仪B仪B2020/3/26•:仪器的误差•对单次测量，一般只用最大系统误差进行估计•系统的误差（由仪器引起）可分为两种情况；•(1)仪器的准确度已知，则用准确度表示误差的大小。如：一量程为150mA，准确度为0.2级的电流表，测电流时，读数为132.1mA，由准确度等级可算出最大绝对误差：•由所以mA•所以这次测量结果可以表示成•I=132.10.3mA仪%2.0%100150max3.0max单次测量一般只涉及A类不确定度，而不考虑B类不确定度2020/3/26(2)仪器的准确度未知：a.对于可以连续读数的仪器，最大读数误差可取仪器最小刻度的一半；b.对于非连续读数的仪器，如数字式仪表，取最小的一个变化值。2020/3/264.直接测量的不确定度•在直接测量中，测量结果应包含待测量的近似真实值，A类，B类不确定度以及合成不确定度。•通常测量多次，一般5-10次。（重复测量）2020/3/26例1采用感量为0.1g的物理天平，称得重量为35.41g，写出测量结果的表示形式：•由于称重一次，属于单次测量，则B类不确定度•A类：由于天平可以连续调节，=感量的一半=0.05g•合成不确定度：•最终表示形式：•m=35.410.05g0iS仪BBBiS22合2020/3/26•先求（近似真实值）：=11.922mm•A类不确定度：=最小分度的一半•=0.005mm（连续变化）•B类不确定度：mm•合成mm•最后结果：d==11.9220.005mm例2用螺旋测微器测小球的直径，五次测量，分别为：d=11.922，11.923，11.922，11.922，11.922单位mm最小分度为0.01mm，写出测量结果。dd仪B0005.012nddSid005.00005.0005.02222BdSd2020/3/265.间接测量结果的合成不确定度间接测得量的真实值和合成不确定度是由直接测得量的结果通过公式计算出来的。既然直接测量有误差，那么间接测量也必然会有误差，这就是误差的传递。由直接测量值及其误差值来计算间接测量值的误差的关系称为误差的传递公式。2020/3/26•设某间接测量量的公式为：N＝F（x,y,z,…）N为间接测量的量，x,y,z,…是各直接测量的物理量。各直接测量量的测量结果分别为（1）若将各个直接测量量的近似真实值代入函数表达式中，即可得到间接测量的近似真实值。xxxyyyzzzxN2020/3/26（2）求间接测量的合成不确定度，由于不确定度均为微小量，相似于数学中的微小增量，对N＝F(x,y,z,…）求全微分，即得式中dN,dx,dy,dz,…均为微小量，代表各变量的微小变化，而dN的变化由各自变量的变化决定。其中为函数对自变量的偏导数，记为:dzzFdyyFdxxFdN,,,zFyFxFKAF2020/3/26kiAKKzyxNAFzFyFxF12222)()()()(AKKAF•上面全微分式中的微分符号d改写为不确定度符号σ，并将微分式中的各项求“方和根”，即为间接测量的合成不确定度•当函数式确定后，测出各直接测得量的结果，将各直接测得量的不确定度乘上函数F对各变量的偏导数，再求“方和根”，即间接测得量的合成不确定度。2020/3/26dzzFdyyFdxxFNdNlnlnln该式是先求对数，再求全微分的形式NE222)ln()ln()ln(zyxNNzFyFxFNENENNNEN•当间接测量的函数表达式为积和商的形式时，为了使运算简便起见，可以先将函数式两边同时取自然对数，然后再求全微分。•同样改写微分符号d为不确定度符号σ，再求其“方和根”，即为间接测量的相对不确定度•求出、，则合成不确定度为2020/3/261R2R1R222211212)()()(RRRRRRRiiR)(7.05.05.0222221%35.0%1000.2007.0RERR2R1.已知电阻＝50.2±0.5（Ω），＝149.8±0.5（Ω），求串联电阻R和不确定度。R的近似真实值R=+=50.2+149.8=200.0Ω合成不确定度相对不确定度测量结果表示为R＝200.0±0.7（Ω）举个例子2020/3/261D2D)(42122DDhV)(42122DDhV)cm(436.9)880.2600.3(575.241416.3322)ln(ln)4ln(ln2122DDhV2.金属环内径＝2.880±0.004（cm），外径＝3.600±0.004（cm）,高度h＝2.575±0.004（cm）试求环的体积V和最终表示形式。环体积公式为（1）环体积的近似真实值为（2）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，2020/3/26再求全微分则相对不确定度为21221122220DDdDDdDDhdhVdV2212212212222)2()2()(12DDDDDDhVEDDhVV212222222)880.2600.3004.0880.22()880.2600.3004.0600.32()575.2004.0(%81.00081.02020/3/26（3）总合成不确定度为（4）环体积的测量结果为(最终表达形式）V＝9.436±0.076)cm(076.00081.0436.93VVEV)cm(32020/3/26第四节数据处理方法2020/3/26一.列表法列表法是记录数据的基本方法。欲使实验结果一目了然，避免混乱，避免丢失数据，便于查对，列表法是记录的最好方法。将数据中的自变量、因变量的各个数值一一对应排列出来，要简单明了地表示出有关物理量之间的关系；检查测量结果是否合理，及时发现问题；有助于找出有关量之间的联系和建立经验公式，这就是列表法的优点。2020/3/26二.作图法用作图法处理实验数据是数据处理的常用方法之一，它能直观地显示物理量之间的对应关系，揭示物理量之间的联系。作图法是在现有的坐标纸上用图形描述各物理量之间的关系，将实验数据用几何图形表示出来，这就叫做作图法。作图法的优点是直观、形象，便于比较研究实验结果，求出某些物理量，建立关系式等。2020/3/26三.图解法在物理实验中，实验图线做出以后，可以由图线求出经验公式。图解法就是根据实验数据作好的图线，用解析法找出相应的函数形式。实验中经常遇到的图线是直线、抛物线、双曲线、指数曲线、对数曲线。特别是当图线是直线时，采用此方法更为方便。2020/3/26四.用最小二乘法求经验方程作图法虽然在数据处理中是一个很便利的方法，但在图线的绘制上往往带有较大的任意性，所得的结果也常常因人而异，而且很难对它作进一步的误差分析。为了克服这此缺点，在数理统计中研究了直线的拟合问题，常用一种以最小二乘法为基础的实验数据处理方法。由于某些曲线型的函数可以通过适当的数学变换而改写成直线方程，这一方法也适用于某些曲线型的规律。2020/3/26作图法处理实验数据•作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。•作图步骤：实验数据列表如下.•表1：伏安法测电阻实验数据U(V)0.741.522.333.083.664.495.245.986.767.50I(mA)2.004.016.228.209.7512.0013.9915.9218.0020.01实例2020/3/26I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.001.由坐标纸的大小，选择合适的坐标分度值坐标纸上一个大格是1cm，一个小格是1mm，根据具体的数据确定每个小格代表的数值。最好是1，2，5的倍数，而不要取3的倍数2.标明坐标轴：用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。3.标实验点：实验点可用、、等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号）。4.连成图线：用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线两边的实验点时可以在点处断开。点与图线最为接近且分布大体均匀。图线正穿过实验2020/3/26I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.