成人高考(专升本)高等数学一-成考核心考点笔记-成考-成考重点资料

严格依据大纲编写：《2015年成人高考专升本高等数学一考试大纲》笔记目录第一章极限和连续第二章一元函数微分学第三章一元函数积分学第四章空间解析几何第五章多元函数微积分学第六章无穷级数第七章常微分方程前言预备知识函数新修订的《大纲》中已删去了函数这一章内容，就是说函数知识在考试中不作考核要求，即不会单独出现有关函数概念及性质的试题，但因微积分学是以初等函数为研究对象，所以把函数做为预备知识，对于后面学好微积分学是十分必要的。[复习要求]1.理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单分段函数的图像。2.理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。3.了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。4.熟练掌握函数的四则运算与复合运算。5.掌握基本初等函数的性质及其图像。6.了解初等函数的概念。7.会建立简单实际问题的函数关系式。[主要知识内容]（一）函数的概念1.函数的定义定义设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随变量x的变化而变化，如果变量x在实数集合D或D的某一个子集合中每取一数值时，变量y依照某一法则f总有一个确定的数值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记为其中x叫自变量，y叫因变量或函数。例如，匀速直线运动路程公式（其中v表示速度）自由落体运动（其中g为重力加速度）在上述函数的定义中，重要的是：三因素两要素。定义域在数轴上使函数f有定义的自变量的取值范围D，称为函数的定义域。记为。对应规律自变量x在D上取每一数值时，函数y按照某一确定的规律f，有确定的数值与之对应。值域函数y的取值范围，称为函数的值域，记为。两要素：定义域，对应法则当自变量x取某一定值a时，函数的对应值记为，有时也记为例1.函数的定义（1）各组函数中，两个函数相等的是A.B.C.D.[答]B.（2）下列各组函数中，两个函数相等的是B.C.D.[答]C。例2．求函数定义域（1）函数的定义域是A.B.C.D.[答]B.[解析]解得（2）函数的定义域是A.B.C.D.[答]C。[解析]（3）求函数的定义域[解析]由得或由得故原函数的定义域为。例3．求函数值或进行函数式的变换（1）设，则[答]（2）设，则[答]（3）设，则[答]（4）设，则[答]2.函数的表示法常用的函数表示法有三种：解析法、表格法、图示法。（1）解析法（2）表格法（3）图示法函数的三种表示法各有优缺点，在具体应用时，常常是三种方法配合使用。3.函数的图像用图示法表示函数所得到的曲线，就称为函数的图像，用图像表示函数，使我们有可能借助于几何图形，形象直观地研究事物的运动变化过程，它对于理解高等数学中的概念、方法和结论是十分重要的。描点法作图（二）显函数、隐函数和分段函数1.显函数2.隐函数……(剩余六章略)完整版12页请联系——QQ：1273114568索取第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.理解极限的概念（对极限定义、、等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。第二节函数的连续性[复习考试要求]（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法（2）会求函数的间断点。（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单的命题。（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限第二章一元函数微分学第一节导数与微分[考纲要求]（一）导数与微分（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义要求函数在一点处的导数的方法。（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。（4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节微分中值定理及导数的应用[复习考试要求]（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义，会用罗尔定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。（2）熟练掌握用洛必达法则求、、、型未定式的极限的方法。（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。（5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。（6）会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线……(剩余六章略)完整版12页请联系——QQ：1273114568索取第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]不定积分（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。（2）熟练掌握不定积分的基本公式（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。（5）会求简单有理函数的不定积分。第二节定积分[复习要求]（1）理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件（2）掌握定积分的基本性质（3）理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。（4）熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。（6）理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。第四章空间解析几何[复习考试要求]（一）平面与直线1.会求平面的点法式方程、一般式方程，会判定两平面的垂直、平行。2.了解直线的一般式（交面式）方程，会求直线的标准式（点向式或对称式）方程，会判定两直线平行、垂直。3.会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。（二）简单的二次曲面了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。第五章多元函数微积分学第一节多元函数微分学[复习考试要求]1.了解多元函数的概念、二元函数的几何意义。会求二元函数的表达式及定义域。了解二元函数的极限与连续的概念（对计算不作要求）。2.理解偏导数概念，了解偏导数的几何意义，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。3.掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法。4.掌握复合函数一阶偏导数的求法。5.会求二元函数的全微分。6.掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。7.会求二元函数的无条件极值。会用拉格朗日乘数法求二元函数的条件极值。第二节二重积分[复习考试要求]（1）理解二重积分的概念及其性质。（2）掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。（3）会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积、平面薄板的质量）。第六章无穷级数第一节数项级数[复习考试要求]数项级数（1）理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件,了解级数的基本性质。（2）会用正项级数的比值判别法与比较判别法。（3）掌握几何级数,调和级数与P级数的收敛性。（4）了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。第二节幂级数[复习考试要求]（1）了解幂级数的概念。（2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）。（3）掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法。第七章常微分方程第一节一阶微分方程［复习要求］（１）理解微分方程的定义、理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。（２）掌握可分离变量方程的解法。（３）掌握一阶线性方程的解法。第二节二阶常系数线性微分方程［复习要求］（1）了解二阶线性微分方程解的结构。（2）掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。（3）掌握二阶常系数线性非齐次微分方程的解法[自由项限定为其中为x的n次多项式，为实常数]。正文第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.理解极限的概念（对极限定义、、等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。[主要知识内容]（一）数列的极限1.数列按一定顺序排列的无穷多个数称为数列，记作，其中每一个数称为数列的项，第n项。为数列的一般项或通项，例如（1）1，3，5，…，，…（2）（3）（4）1，0，1，0，…，…都是数列。在几何上，数列可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点。2.数列的极限定义对于数列，如果当时，无限地趋于一个常数A，则称当n趋于无穷大时，数列以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作否则称数列没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点可以无限靠近点A。（二）数列极限的性质定理1.1（惟一性）若数列收敛，则其极限值必定惟一。定理1.2（有界性）若数列收敛，则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。定理1.3（两面夹定理）若数列，，满足不等式且。定理1.4若数列单调有界，则它必有极限。下面我们给出数列极限的四则运算定理。定理1.5（1）（2）（3）当时，（三）函数极限的概念1.当时函数的极限（1）当时的极限定义对于函数，如果当x无限地趋于时，函数无限地趋于一个常数A，则称当时，函数的极限是A，记作或（当时）（2）当时的左极限定义对于函数，如果当x从的左边无限地趋于时，函数无限地趋于一个常数A，则称当时，函数的左极限是A，记作或例如函数当x从0的左边无限地趋于0时，无限地趋于一个常数1.我们称：当时，的左极限是1，即有（3）当时，的右极限定义对于函数，如果当x从的右边无限地趋于时，函数无限地趋于一个常数A，则称当时，函数的右极限是A，记作或又如函数当x从0的右边无限地趋于0时，无限地趋于一个常数-1。因此有……(剩余六章略)完整版12页请联系——QQ：1273114568索取这就是说，对于函数当时，的左极限是1，而右极限是-1，即但是对于函数，当时，的左极限是2，而右极限是2。显然，函数的左极限、右极限与函数的极限之间有以下关系：定理1.6当时，函数的极限等于A的必要充分条件是这就是说：如果当时，函数的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。反之，如果左、右极限都等于A，则必有。这个结论很容易直接由它们的定义得到。以上讲的是当时，函数的极限存在的情况，对于某些函数的某些点处，当时，的极限也可能不存在。2.当时，函数的极限（1）当时，函数的极限定义对于函数，如果当时，无限地趋于一个常数A，则称当时，函数的极限是A，记作或（当时）（2）当时，函数的极限定义对于函数，如果当时，无限地趋于一个常数A，则称当时，函数的极限是A，记作这个定义与数列极限的定义基本上一样，只不过在数列极限的定义中一定表示，且n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出，且其中的x不一定是整数。如函数，当时，无限地趋于常数2，因此有（3）当时，函数的极限定义对于函数，如果当时，无限地趋于一个常数A，则称当时，的极限是A，记作又如函数，当时，无限地趋于常数2，因此我们说，当时，函数的极限是2，即有由上述，，时，函数极限的定义，不难看出：时，的极限是A，这表示当且仅当以及时，函数有相同的极限A。但是对函数来讲，因为有,即虽然当时，的极限