15重积分——二重积分的习题课

1二重积分习题课3、性质一、内容提要（一）二重积分的概念、性质1、定义2、几何意义：曲顶柱体的体积01(,)lim(,)niiiiDfxydf2（二）二重积分的计算1、直角坐标系中(1)积分区域D的类型：X—型区域，Y—型区域,一般区域分划。oabxyD)(2xy)(1xyDyoxdc)(1yx)(2yx3积分区域的不等式表示的是二重积分化为二次积分确定积分限的基本依据。(2)积分顺序的确定先积y还是先积x，要结合被积函数f(x,y)及积分区域两个方面的特点加以考虑。如仅从积分区域的特点看，D是X—型区域时先积y；D是Y—型区域先积x。首先是“能积出”，其次是“易积出”。D既是X—型区域又是Y—型区域时,选定限时不需分块或分块较少的积分顺序。412()():,xyxDaxb若则)()(21),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf12()():,yxyDcyd若则)()(21),(),(yydcDdxyxfdydyxfoabxyD)(2xy)(1xyDyoxdc)(1yx)(2yx5(3)交换积分顺序2、利用极坐标计算二重积分由所给的二次积分的顺序及积分限，确定积分区域D（画出图形），再按新的积分顺序将D用新的不等式表出，即定出新的积分限。(1)积分顺序通常是先r后(2)D的极坐标表示6(1)D极点在外12:()(),Dr(2)D极点在的边界上时),(0:rD(3)D极点在的内部时20),(0:rD如D的边界是由直角坐标方程:y=f(x)给出，通常可从几何意义去确定D的极坐标表示（图形是重要的）或利用x=rcos，y=rsin进行变换。1()r2()rOxD)(roxDOxD)(r7(3)坐标系的选取,DD当的边界用极坐标表示比较简单或是圆域、圆的一部分时22()yxfxyffxy当被积函数形如、、时可考虑选用极坐标系。8（三）有关二重积分的对称性的应用Ddyxf),(1、若D关于y轴对称其中D1是D的右半区域即当(x,y)∈D时，必有(x,y)∈D，则10,(,)(,)2(,),(,)(,)Dfxyfxyfxydfxyfxy当时当时92、若D关于x轴对称10,(,)(,)2(,),(,)(,)Dfxyfxyfxydfxyfxy若若D1是D的上半部分区域即当(x,y)∈D时，必有(x,y)∈D，则Ddyxf),(1010,(,)(,)2(,),(,)(,)Dfxyfxyfxydfxyfxy若若3、若D关于原点对称，即当(x,y)D时，必有(x,y)D，则Ddyxf),(其中D1是D的上半部分（或右半部分）区域。11Ddyxf),(（四）有关二重积分的一些证明题4、若D关于直线y=x对称，即当(x,y)∈D时，必有(y,x)∈D，则Ddxyf),(Ddxyfyxf)],(),([21中值定理、变上限积分、换元等12(,)fxy解函数连续2222(,)(2)xyfxyyxye(,)(1,2,3)kkDIfxydk123,,III试比较之大小。1231(0,1),2,,1DDDD设是以为中心边长为的正方形分别为的内例切圆和外接圆y12xo因为在D2内部f(x,y)0;所以有I3I1I2（也可用“”）。在D2外部f(x,y)022])1(1[),(22yxeyxyxf1D2D3D1322220(,):1,lim(,)2aDfxyDxyafxydxdya设是有界闭域上的连续函数则求极限例。利用积分解中值定理Dadxdyyxfa),(1lim20Ddxdyyxfa),(12),(12fa22),(1afa)),((),(Df),(lim0fa((,))fxy是连续函数。)0,0(f142(,),:1,311DfxydDxyx把表为极坐标下的二次积分其中例。解D的图形如下,将D分成三个部分区域。;40,cossin0:21rD;434,sin10:2rD43,cossin0:23rD1111D2D3DxOy15111xOy1D2D3DDdyxf),(2cossin040)sin,cos(rdrrrfd31),(iDidyxfsin10434)sin,cos(rdrrrfd。2cossin043)sin,cos(rdrrrfd16222,:,1,0yDedxdyDyxxy（）所围。例4计算下列二重积分3(1)sin,:,1,0DxdxdyDxyxy所围。解(1)D的图形如右。应先积y20310sinxdyxdxI1032sindxxx103cos31x。)1cos1(31xOyyx特点选择积分顺序根据被积函数的17xOyyx10,1:2yxyD222,:,1,0yDedxdyDyxxy（）所围。应先积x121022yydxedyI10210222yydeydye102102102222dyeyedyeyyy。21e10222)1(dyeyy1022yye182200,5axdxxydy把积分化为极坐标形式例并计算积分值。解积分区域D如图所示:用极坐标表示为;40,cos0:arDxadyyxdxI02204cos00adrrdryxoaDdyx224033cos3da4033sec3da19ddtansectantansecsec3ddsecsectansec3Cdtansecln21tansec21sec3于是。)12ln(26)12ln(221333aaI202,(sin):(02)(1cos)6DIydxdyDxxattLtyat计算其中是由轴和摆线的一拱所围成例的区域。解yo2ay=y(x)xaa22033)cos1()cos1(31dttata)(0220xyadyydxIadxxy203)(31208442sin23dtta)2(sin332084tuudua212200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnnnnnn,!!!)!1(3254231,2!!!)!1(22143231为正偶数为大于1的正奇数附录:222214365873643a。41235a2084sin364tdta84364Ia)(0220xyadyydxI)2(sin332084tuudua23例7计算下列二重积分(注意利用对称性))0(2:,)()1(22222aayyxayyxDdyxD。1,20:,)3(yxDdxdyyxD。)0,0(:,)()2(2222222baRyxDdbyaxD242(1)()Dxyd解D2aOaxy,Dy因为区域关于轴对称所以。Dxyd02DDdyxdyx)()(222)0(,2:2222aayyxayyxD为奇函数，关于xxy2Ddyxyx)2(222522,xyx又因为关于为偶函数1)(222Ddyx2044sin215daDDdyxdyx)()(222sin2sin2202aardrrd204444)sinsin16(42daa221432154a。32454aD2aOaxy10,DDx若设为中的部分则26,)()2(2222Ddbyax222:RyxDDoxyR,,,Dxy因为积分区域关于轴轴原点都对称所以有DDdydxI22。Ddyx)(2122Ddbyax)(2222DDdybdxa222211Iba)11(22Ddyxba)(21)11(222227DoxyRDdbyax)(2222Rrdrrdba022022)11(21Ddyxba)(21)11(222224)11(21422Rba。4)11(422Rba28DdxdyyxIy=xy=x122DDxydxdyD关于x轴对称，被积函数关于y为偶函数。用直线y=x、y=x、y=0将D分成四个小区域。Ddxdyyx,)3(D2D4D1D3。1,20:yxDo1xy2129y=xy=xD2D4D1D3o1xy21DdxdyyxI122DDxydxdy21011022yxdxyxdydyxydx1222DDdxdyyxdxdyxy。2153230223[1sin()],,1,18,DIxyfxydxdyDyxyxf计算其中是由所围区例域为连续函数。解法一利用对称性。D1D2D1关于y轴对称D2关于x轴对称作曲线y=－x3，将区域D分成两部分D1和D2y1o1x因为连续函数xsinyf(x2+y2)关于变量x、y分别都是奇函数，x关于变量x是奇函数，所以有310)(sin122Ddxdyyxyfx0)(sin222DdxdyyxyfxDxdxdy3301xxxdydx01Dxdxdy2Dxdx0142dxx。52dxdyyxyfxID)](sin1[22dxdyyxyfxdxdyxDD)](sin2221DDxdxdyD1D2y1o1x32解法二设F(u)是f(u)的一个原函数，Ddxdyyxyfx)(sin223112211)(sinydxyxyfxdy=025DIxdxdy所以。（被积函数为奇函数）()y不能先积y1o1xdyyxyFy1112231)(sin21dyyFyyFy112232)]1()([sin21332(,),0,9,1,fxyDyyxx设连续是由所围成的区域例且有D积分区域如解图所示。,(,),Dfxy因为是一有界闭区域连续所以(,)DfxydxdyI为一定值。)1(),(),(Ddxdyyxfxyyxf(,)fxy求。xOy2yx34(,),DIfxydxdy设则Ddxdyyxfxyyxf),(),(IxyDdxdyIxyI)(DDdxdyIxydxdy,81I31102dxxdxdyD1212010xDxydydxxydxdy从而得。81),(xyyxfxOy2yx35证明区域D如图所示。10(),1,0fxdxAf已知为连续函数例求证Ddxdyyfxf)()(将所给二次积分写成二重积分，有再将所给的二次积分中x、y对换2)()(2110AdyyfxfdxIxxyoD110)()(xdyyfxfdxI36xyoD