安徽省2009年普通高等学校专升本高等数学试题和答案

安徽省2009年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1．试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内。1．Axfxx)(lim0是0xx时，函数Axf)(为无穷小量的是（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．设函数0,0,)21()(1xaxxxfx在0x处连续，则a（）A．1B．eC．2eD．2e3．函数xxey在区间（3，5）内是（）A．单调递增且凸B．单调递增且凹C．单调递减且凸D．单调递减且凹4．已知Cxdxxfsin)(则')(x＝（）A．xcosB．xsinC．xcosD．xsin5．设dxyxfdyIy100),(，交换积分次序得I（）A．1012),(xdyyxfdxB．1010),(dyyxfdxC．1002),(xdyyxfdxD．xdyyxfdx010),(6．下列级数中发散的是（）A．021nnB．131nnnC．1)1(1nnnnD．nnn1)1(17．已知AAAAAAnA表示的行列式，表示，且阶方阵，为**)(42的伴随矩阵），则n（）A．2B．3C．4D．58．已知向量110,000,121321aaa，则（）A．1a线性相关B．21,aa线性相关C．21,aa线性无关D．321,,aaa线性相关9．学习小组有10名同学，其中6名男生，4名女生，从中随机选取4人参加社会实践活动，则这4人全为男生的概率是（）A．141B．143C．74D．7110．已知)(,8.0)|(,4.0)(,3.0)(BAPABPBPAP则（）A．0.7B．0.46C．0.38D．0.24二、填空填：本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。11．设函数)(sin,1,01,1)(xfxxxf则__________12．已知axaxx则,4sinlim___________13．设函数)(,nxyxey则=_______________14．曲线1323xxy的拐点是_______________15．11220091cosdxxxx＝__________16．幂级数13nnnnx的收敛半径为______________17．dxxx2212＝_______________18．如果行列式x32221511＝0，则x=______________19．设随机变量X服从二项分布),(pnB，且数学期望,4)(XE方差)(XD＝2.4，则n＝______________20．设)4.1(),2.0.1(~.039544)2()1,0(~2YPNYXPNX则_________三、解答题：本大题共8小题，其中第21-25题每题7分，第26-27题每题8分，第28题12分，共63分。21．求极限xxtxdtxsinsinlim02022．求不定积分dxxxxx)ln1ln(23．求定积分4011dxxx24．求微分方程xxyxysin2'的通解25．求二重积分DxyxyDxdxdy2,2和是由曲线其中所围成的区域。26．求线性议程组23134320432143214321xxxxxxxxxxxx的通解27．已知矩阵320201,110221101,131563213CBA，且CBXAX2，求矩阵X.28．已知连续开题随机变量X的密度函数为：，xbaxxf其他,010,)(且数学期望127)(XE求，（1）常数ba,(2)随机变量X落在区间)2,21(内的概率，（3）随机变量X的方差)(XD四、证明与应用题：本大题共3小题，其中第29题7分，第30题8分，第31题12分，共27分。29．证明：当.1)1(1,0xn，xnxn时30．已知二元函数31．设D是曲线2xy以及该曲线在（1，1）处的切线和y轴所围成的平面区域。求：（1）平面区域D的面积S；（2）D绕y轴旋转而成的旋转体的体积V参考答案及精析一、单项选择题（每小题3分，共30分）1.A2.C3.D4.A5.C6.B7.B8.B9.A10.B二、填空题（每小题3分，共30分）11.112.413.（xn）xe14.（1，-1）15.016.317.18.319.1020.0.7262三、简答题（共63分）21.【精析】2200sinsinlimlimsin1cosxxxtdxxxxx=2cos2limsinxxxx=2lim2cosxx=2.22.【精析】原式=1lnlnxxdxxdxx=21ln()ln(ln)2xdxxdx=22211[ln(ln)](ln)22xxxdxx=222111[ln]ln22xxxdxxx=22111lnln222xxxdxx=222111lnln.242xxxxC23.【精析】4140011(1)1111xxxdxdxdxxxx=14011111xxdxdxxx=1401(1)(1)(1)(1)11xxxxdxdxxx=1401(1)(1)xdxxdx=3314220122()()33xxxx=2141(3)332141333=2.24.【精析】先求对应的齐次线性方程'0xyy的通解.分离变量，得dydxyx两边积分，得yCx.用常数变易法，将C换成C(x)，即令()yCxx，代入所给的非齐次线性方程，得2[()'()]()sin.xCxxCxCxxxx整理，得22'()sin.xCxxx即'()sin.Cxx两边积分得()cos,CxxC所以所求方程的通解为(cos).yxCx25.【精析】联立方程22yxyx，得两交点分别为（0,0）、（2,4）。根据图像可知2202xxDxdxdyxdxdy220232043(2)(2)212()04316434.3xxxdxxxdxxx26【精析】11110()2343111312AB111100121102422111100121100000所以原方程组可化为1234234021xxxxxxx即123423412xxxxxxx令341,0,xx得211,0xx；令340,1,xx得212,1,xx并且知特解为1234120120xxxx.所以原方程组的通解为12123411120021102010xxkkxx（12,kk为任意常数）27.【精析】由AX=2BX+C，知AX-2BX=C(A-2B)X=C经验证，20,2ABAB即可逆，所以1=XC（A-2B）由题知3122021102365244121131022111AB，并且11010012101011-1001110100011-11000-1-10110-12-10011-11000-1-1011003-1-1010-21100110-1，所以1311211.101(A-2B)所以3-1-1101-5=-21102=05.10-123-1-3X28【精析】（1）由连续型随机变量X的密度函数的性质，知10()1,axbdx从而2111,02ax（+bx）即11,2ab由数学期望的定义，知107(),12xaxbdx从而120327(),1211117,003212117.3212axbxdxaxbxab即联立两方程，得11,2ab(2)222112221111(2)()()(+)122222PXfxdxxdxxx218(3)由于11222001()()()2EXxfxdxxxdx1320431()21115()04612xxdxxx所以2254911()()()12144144DXEXEX四、证明与应用题（共27分）29.【证明】11()(1)11,=(1).11,'(x)0,xxnnnnFxxnxxnxnFnnxxnFF令并且（1）1-n+n-1=0.当x1时，F'(x)=nx由于时，所以即（）在[1,+]上是递增函数，所以F（）F(1),即10,nxnxn也即-11.nxnx（）1110x1'(x)(1),0x1,1,1,'xxxnnnFnxnnxnxF当时，由于所以即（）0,所以F（）在[0,1）上是递减函数，所以F()F(1),即(1)1nxnx得证.30．【证明】2,,,+=+=.yxyyxxyyxxyyyyyxxxxxzxezyexexxzxxeyexzxyexeyeyexex因为二元函数则所以则命题得证.31．【精析】根据题意知，'2211kyxxx所以在点（1,1）处的切线方程为12(1)yx即21yx所以，（1）120[(21)]Sxxdx12032(21)11()03111133xxdxxxx(2)1211[]2yyVydy210(1)2[(1)]430yyyydy