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一.正弦、余弦、正切函数图象和性质函数正弦函数Rxxy,sin余弦函数Rxxy,cos正切函数tan,2yxxk有界性有界有界无界定义域),(),(|,2xxkkZ值域]1,1[当)(22Zkkx时,1maxy当)(22Zkkx时,1miny]1,1[当)(2Zkkx时,1maxy当)(2Zkkx时,1miny),(周期性是周期函数,最小正周期2T是周期函数,最小正周期2TT奇偶性奇函数,图象关于原点对称偶函数,图象关于y轴对称奇函数,图象关于原点对称单调性在)(],22,22[Zkkk上是单调增函数在)(],223,22[Zkkk上是单调减函数在)(],22,2[Zkkk上是单调增函数在)(],2,2[Zkkk上是单调减函数在(,),()22kkkZ上是单调增函数对称轴)(,2Zkkx)(,Zkkx对称中心)()0,(Zkk)()0,2(Zkk(,0)()2kkZ正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32--2oyxy=cotx3222--2oyx(一)三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数:y=sinx,y=tanx;偶函数:y=cosx.(2)型三角函数的奇偶性(ⅰ)g(x)=(x∈R)g(x)为偶函数由此得;同理,为奇函数.(ⅱ)为偶函数;为奇函数.3、周期性(1)基本公式(ⅰ)基本三角函数的周期y=sinx,y=cosx的周期为;y=tanx,y=cotx的周期为.(ⅱ)型三角函数的周期的周期为;的周期为.(2)认知(ⅰ)型函数的周期的周期为;的周期为.(ⅱ)的周期的周期为;的周期为.均同它们不加绝对值时的周期相同,即对y=的解析式施加绝对值后,该函数的周期不变.注意这一点与(ⅰ)的区别.(ⅱ)若函数为型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”.(ⅲ)探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验――猜想――证明.(3)特殊情形研究(ⅰ)y=tanx-cotx的最小正周期为;(ⅱ)的最小正周期为;(ⅲ)y=sin4x+cos4x的最小正周期为.由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象.4、单调性(1)基本三角函数的单调区间(族)依从三角函数图象识证“三部曲”:①选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称的一个周期;②写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间);③获通解:在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数的增区间族(或减区间族)循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.(2)y=型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为①换元、分解:令u=,将所给函数分解为内、外两层:y=f(u),u=;②套用公式:根据对复合函数单调性的认知,确定出f(u)的单调性,而后利用(1)中公式写出关于u的不等式;③还原、结论:将u=代入②中u的不等式,解出x的取值范围,并用集合或区间形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:xAysin(A、>0)定义域RRR值域]1,1[]1,1[RRAA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0非奇非偶当,0奇函数单调性]22,22[kk上为增函数;]223,22[kk上为减函数(Zk)]2,12[kk;上为增函数]12,2[kk上为减函数(Zk)kk2,2上为增函数(Zk)1,kk上为减函数(Zk))(212),(22AkAk上为增函数;)(232),(22AkAk上为减函数(Zk)注意:①xysin与xysin的单调性正好相反;xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地,若)(xfy在],[ba上递增(减),则)(xfy在],[ba上递减(增).②xysin与xycos的周期是.③)sin(xy或)cos(xy(0)的周期2T.2tanxy的周期为2(2TT,如图,翻折无效).④)sin(xy的对称轴方程是2kx(Zk),对称中心(0,k);)cos(xy的对称轴方程是kx(Zk),对称中心(0,21k);)tan(xy的对称中心(0,2k).ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysin▲Oyxxxyxy2cos)2cos(2cos原点对称⑤当tan·,1tan)(2Zkk;tan·,1tan)(2Zkk.⑥xycos与kxy22sin是同一函数,而)(xy是偶函数,则)cos()21sin()(xkxxy.⑦函数xytan在R上为增函数.(×)[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,xytan为增函数,同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:)()(xfxf,奇函数:)()(xfxf)奇偶性的单调性:奇同偶反.例如:xytan是奇函数,)31tan(xy是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)奇函数特有性质:若x0的定义域,则)(xf一定有0)0(f.(x0的定义域,则无此性质)⑨xysin不是周期函数;xysin为周期函数(T);xycos是周期函数(如图);xycos为周期函数(T);212cosxy的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:Rkkxfxfy),(5)(.⑩abbabaycos)sin(sincos22有yba22.二、形如sin()yAx的函数:1、几个物理量:A―振幅;1fT―频率(周期的倒数);x―相位;―初相;2、函数sin()yAx表达式的确定:A由最值确定;由周期确定;由图象上的特殊点确定,如()sin()(0,0fxAxA,||)2的图象如图所示,则()fx=_____(答:15()2sin()23fxx);3.函数BxAy)sin(),(其中00A最大值是BA,最小值是AB,周期是2T,最小正周期||2T频率是2f,相位是x,初相是;其图象的对称轴是直线)(2Zkkx,凡23题图29YX-223▲yxy=cos|x|图象▲1/2yxy=|cos2x+1/2|图象是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。4、研究函数sin()yAx性质的方法:类比于研究sinyx的性质,只需将sin()yAx中的x看成sinyx中的x,但在求sin()yAx的单调区间时,要特别注意A和的符号,通过诱导公式先将化正。如(1)函数23ysin(x)的递减区间是______(答:51212[k,k](kZ));(2)1234xylogcos()的递减区间是_______(答:336644[k,k](kZ));5、函数sin()yAx图象的画法:(1)利用“五点法”作函数RxxAy),sin((其中0,0A)的简图,是将x看着一个整体,先令2,23,,2,0x列表求出对应的x的值与y的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内的图象。②图象变换法:这是作函数简图常用方法===由sinyx图象推sin()yAxk的图象6.函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系:图象变换(1)振幅变换Rxxy,sin倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A1)A(01)(ARxxy,sinA(2)周期变换Rxxy,sin倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短11)(01)(Rxxy,sin(3)相位变换Rxxy,sin个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(Rxxy,)(sin(4)上下平移(纵向平移变换):是由k的变化引起的.k>0,上移;k<0,下移具体变换方法:三角函数图象的平移和伸缩函数sin()yAxk的图象与函数sinyx的图象之间可以通过变化Ak,,,来相互转化.A,影响图象的形状,k,影响图象与x轴交点的位置.由A引起的变换称振幅变换,由引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由引起的变换称相位变换,由k引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换.既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移.(一)先平移后伸缩sinyx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位长度得sin()yxsin()yx的图象()横坐标伸长(01)或缩短(1)1到原来的纵坐标不变得sin()yxsin()yx的图象()AAA纵坐标伸长(1)或缩短(01)为原来的倍横坐标不变得sin()yAxsin()yAx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk图象(二)先伸缩后平移sinyx的图象(1)(01)AAA纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sinyAxsinyAx的图象(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()yAxsin()yAx的图象(0)(0)向左或向右平移个单位得sin()yAxxsin()yAxx的图象(0)(0)kkk向上或向下平移个单位长度得sin()yAxk图象无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。特别注意,若由sinyx得到sinyx的图象,则向左或向右平移应平移||个单位,例如:函数2sin(2)14yx的图象经过怎样的变换才能得到sinyx的图象?(答:2sin(2)14yx向上平移1个单位得2sin(2)4yx的图象,再向左平移8个单位得2sin2yx的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sinyx的图象,最后将纵坐标缩小到原来的12即得sinyx的图象);三、正切函数tanyx的图象和性质:(1)定义域:{|,}2xxkkZ。(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值;(3)周期性:是周期函数且周期是,
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