判别式-实根分布解决两条二次曲线的公共点个数问题

1判别式+实根分布解决两条二次曲线的公共点个数问题数学组岳国庆在高考复习和自主招生考试中，经常会见到两条二次曲线的公共点个数问题或者二条二次曲线位置关系的判断，此类问题容易受到直线与二次曲线位置关系判断的影响，仅从判别式与0的大小关系来判断位置关系，从而将题目做错，下面本文从几个自主招生试题中给出这类问题的解决方法。首先，我们来看一个例子。例1.试判断圆C:02422xyx与抛物线E:xy72有无公共点，并说明理由.错解:联立方程02422xyx①xy72②消去y，得到关于x的一个一元二次方程:0232xx③.,0189两曲线有公共点这个解法明显是错误的，由方程③解出两根2121xx，，代入方程②(或者①),y不存在，所以二条二次曲线是没有公共点的.这个解法错误的原因是判别式0只保证了x有解，而不能保证y有解.很多同学在这里会想，为什么直线与二次曲线的位置判断仅从判别式与0的大小关系就可以了，而两个二次曲线确不行呢？我们知道:在两个方程①、②消元得到一个一元二次方程③后，解出x后，x代入方程①或者方程②解y都是可以的.当然我们代入更简单的方程②来求解y.为什么代入方程①或方程②都可以解出y呢？因为方程③是由方程①-②得到的，即0)7(24222xyxyx④，只要点(x,y)的坐标满足了方程②，即xy72，代入④一定有02422xyx成立，即点(x,y)同时也满足方程①,所以解出x后代入方程①或者方程②来解y都是可以的.而在直线与二次曲线联立时，只要判别式0，x有解，代入直线方程y必定有解，所以直线与二次曲线位置关系只用判别式就可以了.那么，两条二次曲线的公共点个数问题该怎么解呢？我们应保证在x有解的前提下，让y也有解，换句话说，让x有解的前提下，再让x的范围在两条二次曲线中任意一条x的范围之内就可以了.所以我们可以用判别式+实根分布知识来完美解决两条二次曲线的公共点个数问题。例2.(2008年浙大自主招生)椭圆4)(422ayx与抛物线yx22有公共点，求a的取值范围.解法1：联立方程4)(422ayx2yx22消去x,得到关于y的一个一元二次方程:022)41(222ayay①在方程yx22中，0y，要使椭圆4)(422ayx与抛物线yx22有公共点，因为正面考虑情况比较复杂，所以从反面考虑，只需要方程①无解或者2根均小于0，则0或0021yy021yy即：0)22(8)41(22aa或0)22(8)41(22aa0241a02222a所以817a或1a取补集，有8171a解法2：令22)41(2)(22ayayyf要使椭圆4)(422ayx与抛物线yx22有公共点，方程①需满足：两解都在,0或一解在,0,另一解在0,所以，00441a或0)0(f0)0(f即：8171a或11a取并集，则8171a例3.已知抛物线xy22与圆422yax，当a取何值时，两曲线⑴无公共点⑵有一个公共点⑶有两个公共点⑷有三个公共点⑸有四个公共点.解：联立方程xy223422yax消去y，得到关于x的一元二次方程：04)22(22axax①令4)22()(22axaxxf⑴两曲线无公共点的充要条件是方程①无解或2解均小于0，所以0或00222a0)0(f即：0)4(4)22(22aa或0)4(4)22(22aa0222a042a解得：225aa或，此时两曲线相离(2)两曲线有一个公共点的充要条件是方程①两根均为0或一根为0，一根小于0，04)0(2af解得：2a，此时两曲线相切0222a(3)两曲线有两个公共点的充要条件是方程①两根相等均大于0或一个大于0，一个小于0，所以0)4(4)22(22aa或04)0(2af0222a04)0(2af即2225aa或25a时两曲线相切，22a时两曲线相交(4)两曲线有三个公共点的充要条件是方程①一个根为0，一个根大于0，所以：04)0(2af解得：2a，此时两曲线相交0222a（5）两曲线有四个公共点的充要条件是方程①有两个不相等的正根，所以：40)4(4)22(22aa解得：252a，此时两曲线相交.0222a04)0(2af