等差数列前n项和性质

等差数列前n项和性质一.知识点回顾1(1)2nnndSna1()2nnnaaS1.等差数列的前n项和公式：1(1)2nnndSna由可化成21()22nddSnan当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.2.等差数列前n项和的性质（1）思考3：一般地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C呢？（1）数列{an}是等差数列Sn＝An2＋Bn（2）数列{an}的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C，则：①若C＝0，则数列{an}是等差数列；②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。结论：等差数列前n项和的最值问题有两种方法：(1)由21()22nddSnan数配方法求得最值时n的值.利用二次函(2)当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值.可由an≥0，且an＋1＜0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值.可由an≤0，且an＋1＞0，求得n的值.3.等差数列前n项和的性质（2）11?,1,2nnSnSSnnnnnn已知等差数列的前n项和S，如何求a利用S与a的关系:a=二.巩固练习1.{}na2nnn已知数列的前项和S=2n-23n,（1）求其通项公式a；（2）求S的最值。2.{}na1179n在等差数列中，a=25,S=S,求S的最值。2212211222min223[2(1)23(1)]22(1)2323(1)425121425()2323529(2)2232()2()248)66nnnnnSSnnnnnnnnnnaSannNSnnnnnSn1.解：(1)由题意可知：当n2时，a当时，由二次函数的性质可知当n=6时,(1.{}na2nnn已知数列的前项和S=2n-23n,（1）求其通项公式a；（2）求S的最值。22max1117(171)2.:(),251729(91)25922(1)(2)2526(13)1692,13,()169()()25(1)(2)013.5250,25(2)012.nndddnnnnnnnannaann179nn解法一由S=S得解得S由二次函数的性质知当S法二先求出d=-2同法一由得max513,()169nn当S4.等差数列前n项和的性质（3）k2kk3k2k2等差数列的之和也成等差数列。即S,S-S,S-S,......也成等差数列。(公差为k连续k项d)1{}na102030例：在等差数列中，S=10,S=40,求S2{}na264课堂练习：等差数列中，若S=2，S=24,求S5.等差数列前n项和的性质（4）1(2)2.()(2)1nnnnSSSSaSSdSaSnSSanaSn奇偶所有偶偶奇奇奇奇偶偶关于奇数项与偶数项和的关系的几个：1.当项数为（偶数）时：（1）当项数为2n-1（奇数）时：（1）是中间项结论2n2{}103{}290,261,nnaa偶奇1奇偶例：已知等差数列中，共有项,S=15,S=12.5,求a与d。例：已知等差数列中，共有2n-1项,S=S=求项数与中间项。2{}10na偶奇1例：已知等差数列中，共有项,S=15,S=12.5,求a与d。10111:10,12110921512.51021211,22SSSSSaaa偶奇偶奇解该等差数列的项数为项=nd即15-12.5=5d,解得d又即解得d3{}290,261.na奇偶例：已知等差数列中，共有2n-1项,S=S=求项数与中间项。:21,290261,29290,1012611210119nSSaaaSnnnSnn奇偶中中中奇偶解该等差数列的项数为项即又即解得项数为{},1,na奇偶1课堂练习：已知等差数列中，共有2n+1项,S=51S=42.5，a求项数及通项公式。