【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件：12.5 数学归纳法

12.5数学归纳法第十二章12.5数学归纳法-2-1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.第十二章12.5数学归纳法-3-1.数学归纳法是证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.(2)(归纳递推)假设n=k(k≥k0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.2.应用数学归纳法时特别注意:(1)数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.第十二章12.5数学归纳法-4-想一想对于数学归纳法证明中的两个基本步骤,你是如何理解的?答案:第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.第十二章12.5数学归纳法-5-答案答案关闭C1.用数学归纳法证明3n≥n3(n∈N,n≥3),第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4第十二章12.5数学归纳法-6-答案答案关闭C2.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2-1(n∈N*)的过程中,在验证n=1时,左端计算所得的项为()A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23第十二章12.5数学归纳法-7-3.已知f(n)=1𝑛+1𝑛+1+1𝑛+2+…+1𝑛2,则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=12+13B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=12+13D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14答案答案关闭D第十二章12.5数学归纳法-8-4.用数学归纳法证明:“1+12+13+…+12𝑛-1n(n1)”,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项的项数是.答案答案关闭2n第十二章12.5数学归纳法-9-5.已知在数列{an}中,a1=12,an+1=𝑎𝑛𝑎𝑛+1,则数列的前5项为12,13,14,15,16,猜想它的通项公式是.答案答案关闭12,13,14,15,16an=1𝑛+1第十二章12.5数学归纳法-10-考点一考点二考点三考点四考点五考点一用数学归纳法证明恒等式【例1】n∈N*,求证:1-12+13−14+…+12𝑛-1−12𝑛=1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛.答案答案关闭证明:(1)当n=1时,左边=1-12=12,右边=11+1=12.左边=右边.(2)假设n=k时等式成立,即1-12+13−14+…+12𝑘-1−12𝑘=1𝑘+1+1𝑘+2+…+12𝑘,则当n=k+1时,1-12+13-14+…+12𝑘-1-12𝑘+12𝑘+1-12𝑘+2=1𝑘+1+1𝑘+2+…+12𝑘+12𝑘+1-12𝑘+2=1𝑘+2+1𝑘+3+…+12𝑘+1+12𝑘+2.即当n=k+1时,等式也成立.综合(1),(2)可知,对一切n∈N*,等式成立.第十二章12.5数学归纳法-11-方法提炼用数学归纳法证题的关键是第二步由n=k到n=k+1的过渡,要设法将待证式与归纳假设建立联系,即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形,把n=k+1时的表达式拼凑出归纳假设的形式,再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-12-举一反三1用数学归纳法证明:对任意的n∈N*,11×3+13×5+…+1(2𝑛-1)(2𝑛+1)=𝑛2𝑛+1.答案答案关闭证明:(1)当n=1时,左边=11×3=13,右边=12×1+1=13,左边=右边,所以等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即11×3+13×5+…+1(2𝑘-1)(2𝑘+1)=𝑘2𝑘+1,则当n=k+1时,11×3+13×5+…+1(2𝑘-1)(2𝑘+1)+1(2𝑘+1)(2𝑘+3)=𝑘2𝑘+1+1(2𝑘+1)(2𝑘+3)=𝑘(2𝑘+3)+1(2𝑘+1)(2𝑘+3)=2𝑘2+3k+1(2𝑘+1)(2𝑘+3)=𝑘+12𝑘+3=𝑘+12(𝑘+1)+1.所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式都成立.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-13-考点二用数学归纳法证明不等式【例2】设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*.(1)当n=1,2,3,4时,试比较f(n)与g(n)的大小;(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.答案答案关闭解:(1)∵f(1)=12=1,g(1)=21=2,∴f(1)g(1).∵f(2)=23=8,g(2)=32=9,∴f(2)g(2).∵f(3)=34=81,g(3)=43=64,∴f(3)g(3).∵f(4)=45=1024,g(4)=54=625,∴f(4)g(4).(2)猜想:当n≥3,n∈N*时,有nn+1(n+1)n.证明:①当n=3时,猜想成立.②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时猜想成立,即kk+1(k+1)k,也即𝑘𝑘+1(𝑘+1)𝑘1.∵(k+1)2=k2+2k+1k(k+2),𝑘+1𝑘+2𝑘𝑘+1,∴𝑘+1𝑘+2𝑘𝑘𝑘+1𝑘,∴(𝑘+1)𝑘+2(𝑘+2)𝑘+1=𝑘+1𝑘+2𝑘·(𝑘+1)2𝑘+2𝑘𝑘+1𝑘·k=𝑘𝑘+1(𝑘+1)𝑘1.由①②知,当n≥3,n∈N*时,有nn+1(n+1)n.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-14-方法提炼用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法,即在归纳假设的基础上,通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式.事实上,在合理运用归纳假设后,可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-15-举一反三2设数列{an}满足a1=2,an+1=an+1𝑎𝑛(n=1,2,…).(1)证明:an2𝑛+1对一切正整数n都成立;(2)令bn=𝑎𝑛𝑛(n=1,2,…),判断bn与bn+1的大小,并说明理由.答案答案关闭(1)证明:当n=1时,a1=22×1+1,不等式成立.假设当n=k(k∈N*)时,ak2𝑘+1成立.那么当n=k+1时,𝑎𝑘+12=𝑎𝑘2+1𝑎𝑘2+22k+3+1𝑎𝑘22(k+1)+1.∴当n=k+1时,ak+12(𝑘+1)+1成立.综上,an2𝑛+1对一切正整数n都成立.(2)解:∵𝑏𝑛+1𝑏𝑛=𝑎𝑛+1𝑛+1𝑎𝑛𝑛=1+1𝑎𝑛2·𝑛𝑛+11+12𝑛+1·𝑛𝑛+1=2(𝑛+1)𝑛(2𝑛+1)𝑛+1=2𝑛(𝑛+1)2𝑛+1=𝑛+122-14𝑛+121.故bn+1bn.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-16-考点三用数学归纳法证明几何问题【例3】用数学归纳法证明:凸n边形的对角线的条数为f(n)=12n(n-3)(n≥3).答案答案关闭证明:(1)∵三角形没有对角线,∴n=3时,f(3)=0,命题成立.(2)假设当n=k(k≥3)时,命题成立,即f(k)=12k(k-3),则当n=k+1时,凸k边形由原来的k个顶点变为k+1个顶点,对角线条数增加k-1条.∴f(k+1)=f(k)+k-1=12k(k-3)+k-1=12(k+1)[(k+1)-3].∴当n=k+1时命题成立,由(1)(2)可知对任何n∈N且n≥3,命题恒成立.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-17-方法提炼用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析;事实上,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-18-举一反三3平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,则这n个圆将平面分成不同的区域的个数为()A.2nB.2nC.n2-n+2D.n2+n+1答案解析解析关闭n=2时,分成4部分,可排除D;n=3时,分成8部分,可排除A;n=4时,分成14部分,可排除B,故选C.答案解析关闭C考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-19-考点四用数学归纳法证明整除性问题【例4】已知n为正整数,a∈Z,用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.答案答案关闭证明:(1)当n=1时,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除.(2)假设当n=k(k∈N*)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,那么当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]+ak+2-ak+1(a+1)2=(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除.即当n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)可知,对于任意n∈N*,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-20-方法提炼用数学归纳法证明整除问题,P(k)⇒P(k+1)的整式变形是个难点,找出它们之间的差异,然后将P(k+1)进行分拆、配凑成P(k)的形式,也可运用结论:“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除⇒P(k+1)能被p整除”.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-21-答案答案关闭证明:(1)当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除.(2)假设当n=k(k∈N*)时,42k+1+3k+2能被13整除.则当n=k+1时,42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2),∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,∴42(k+1)+1+3k+3能被13整除.由(1)(2)知,当n∈N*时,42n+1+3n+2能被13整除.举一反三4用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除,其中n为正整数.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-22-考点五归纳—猜想—证明【例5】设数列{an}满足an+1=𝑎𝑛2-nan+1,n=1,2,3,….(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式;(2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有an≥n+2.答案答案关闭解:(1)由a1=2,得a2=𝑎12-a1+1=3,由a2=3,得a3=𝑎22-2a2+1=4,由a3=4,得a4=𝑎32-3a3+1=5,由此猜想an的一个通项公式:an=n+1(n≥1).(2)证明:用数学归纳法证明:①当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立.②假设当n=k时不等式成立,即ak≥k+2,那么,ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2.根据①和②,对于所有n≥1,都有an≥n+2.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-23-方法提炼“归纳—猜想—证明的模式”,是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式,这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用,它的证题模式是先由归纳推理发现结论,然后用数学归纳法证明结论的正确性,这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式.考点一考点二考点三考点四考点五第十二章12.5数学归纳法-