【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件：2.10 函数模型及其应用

2.10函数模型及其应用第二章2.10函数模型及其应用-2-考纲要求1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.第二章2.10函数模型及其应用-3-1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a0且a≠1,b≠0)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)第二章2.10函数模型及其应用-4-(2)三种增长型函数之间增长速度的比较①指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因而总存在一个x0,当xx0时有axxn.②对数函数y=logax(a1)与幂函数y=xn(n0)对数函数y=logax(a1)的增长速度,不论a与n值的大小如何总会慢于y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有logaxxn.由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一个x0,使xx0时有axxnlogax.第二章2.10函数模型及其应用-5-2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下:第二章2.10函数模型及其应用-6-基础自测1.小王在两年前购买了一部手机,现在这款手机的价格已降为1000元,设这种手机每年降价20%,那么两年前这部手机的价格为()A.1535.5元B.1440元C.1620元D.1562.5元答案解析解析关闭设这部手机两年前的价格为a,则有a(1-0.2)2=1000,解得a=1562.5元.答案解析关闭D第二章2.10函数模型及其应用-7-2.2007年8月30日到银行存入a元,若年利率为x,且按复利计算,到2015年8月30日可取回()A.a(1+x)8元B.a(1+x)9元C.a(1+x8)元D.a+(1+x)8元答案解析解析关闭由题意知一年后可取回a(1+x)元,两年后可取回a(1+x)2元……2015年8月30日可取回a(1+x)8元.答案解析关闭A第二章2.10函数模型及其应用-8-3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()A.y=2x-2B.y=12(x2-1)C.y=log3xD.y=2x-2答案解析解析关闭把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是y=12(x2-1).答案解析关闭B第二章2.10函数模型及其应用-9-4.有一批材料可以建成200m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的矩形最大面积为(围墙厚度不计).答案解析解析关闭设矩形的长为xm,宽为200-𝑥4m,则S=x·200-𝑥4=14(-x2+200x).当x=100时,Smax=2500m2.答案解析关闭2500m2第二章2.10函数模型及其应用-10-考点一考点二考点三考点一一次函数与分段函数模型【例1-1】已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地前往B地,到达B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(时)的函数,则下列正确的是()A.x=60t+50t(0≤t≤6.5)B.x=60t,0≤t≤2.5,150,2.5t≤3.5,150-50t,3.5t≤6.5C.x=60t,0≤t≤2.5,150-50t,t3.5D.x=60t,0≤t≤2.5,150,2.5t≤3.5,150-50(t-3.5),3.5t≤6.5答案解析解析关闭依题意,函数为分段函数.求出每一段上的解析式即可.答案解析关闭D第二章2.10函数模型及其应用-11-考点一考点二考点三【例1-2】(2013山西诊断)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中,为了治污,根据环保部门的建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放a(1≤a≤4,且a∈R)个单位的药剂,它在水中释放的浓度y(g/L)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y=a·f(x),其中f(x)=168-x-1(0≤x≤4),5-12x(4x≤10),若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4g/L时,它才能起到有效治污的作用.(1)若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?(2)若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a的最小值.(精确到0.1,参考数据:2取1.4)第二章2.10函数模型及其应用-12-考点一考点二考点三解:(1)因为a=4,所以y=648-𝑥-4(0≤x≤4),20-2𝑥(4𝑥≤10),则当0≤x≤4时,由648-𝑥-4≥4,解得x≥0,所以此时0≤x≤4;当4x≤10时,由20-2x≥4,解得x≤8,所以此时4x≤8.综上,可得0≤x≤8,即一次投放4个单位的药剂,有效治污时间可达8天.第二章2.10函数模型及其应用-13-考点一考点二考点三(2)当6≤x≤10时,y=2×5-12x+a168-(𝑥-6)-1=10-x+16𝑎14-𝑥-a=(14-x)+16𝑎14-𝑥-a-4,因为14-x∈[4,8],而1≤a≤4,所以4𝑎∈[4,8],故当且仅当14-x=4𝑎时,y有最小值为8𝑎-a-4.令8𝑎-a-4≥4,解得24-162≤a≤4,所以a的最小值为24-162≈1.6.第二章2.10函数模型及其应用-14-考点一考点二考点三方法提炼1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0).2.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数.提醒:分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.第二章2.10函数模型及其应用-15-考点一考点二考点三举一反三1某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t).(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.答案答案关闭(1)根据所给的曲线设y=𝑘𝑡,0≤𝑡≤1,12𝑡-𝑎,t1.当t=1时,由y=4得k=4,由121-𝑎=4得a=3.则y=4𝑡,0≤𝑡≤1,12𝑡-3,t1.(2)由y≥0.25得0≤𝑡≤1,4𝑡≥0.25或𝑡1,12𝑡-3≥0.25,解得116≤t≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).第二章2.10函数模型及其应用-16-考点一考点二考点三考点二二次函数模型【例2】某加工厂需定期购买材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管).(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式;(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少,并求出这个最少总费用.第二章2.10函数模型及其应用-17-考点一考点二考点三解:(1)每次购买原材料后,当天用掉的400千克原材料不需要保管,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需要保管3天……第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x-1)天.所以每次购买的原材料在x天内的保管费用y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)]=6x2-6x.(2)由(1)可知,购买一次原材料的总费用为(6x2-6x+600+1.5×400x)元,所以购买一次原材料平均每天支付的总费用为y=1𝑥(6x2-6x+600)+1.5×400=600𝑥+6x+594.则y≥2600𝑥·6x+594=714.当且仅当600𝑥=6x,即x=10时取得等号.所以该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少,最少总费用为714元.第二章2.10函数模型及其应用-18-方法提炼1.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数图象与单调性解决.注意:在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.2.形如f(x)=kx+ax(ka0)的函数,实际是正比例函数与反比例函数的“和”函数,根据其图象特点,通常称其为“对勾函数”,这种函数模型在现实生活中也有着广泛的应用.常常利用“基本不等式”求解,有时也利用函数单调性求解.考点一考点二考点三第二章2.10函数模型及其应用-19-考点一考点二考点三举一反三2如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1km.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120(1+k2)x2(k0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程.(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2km,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.答案答案关闭(1)令y=0,得kx-120(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x0,k0,故x=20𝑘1+𝑘2=20𝑘+1𝑘≤202=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10km.(2)因为a0,所以,炮弹可击中目标⇔存在k0,使3.2=ka-120(1+k2)a2成立.即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根,所以判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0,解得a≤6.所以当a不超过6km时,可击中目标.第二章2.10函数模型及其应用-20-考点一考点二考点三考点三指数、对数类函数模型【例3】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210,log1.0121.2≈15.3)第二章2.10函数模型及其应用-21-考点一考点二考点三解:(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1