等差数列超难题

2013年4月天哥的高中数学卷　一．选择题（共30小题）1．（2012•市中区）已知a2010与a2011是首项为正数的等差数列{an}相邻的两项，且函数y=（x﹣a2010）（x﹣a2011）的图象如图所示，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）　A．4017B．4018C．4019D．4020　2．（2012•营口）等差数列{an}的公差d＜0，且，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是（　　）　A．5B．6C．5或6D．6或7　3．（2012•市中区）在函数y=f（x）的图象上有点列{xn，yn}，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y=f（x）的解析式可能为（　　）　A．f（x）=2x+1B．f（x）=4x2C．f（x）=log3xD．f（x）=　4．（2011•江西）设{an}为等差数列，公差d=﹣2，sn为其前n项和，若s10=s11，则a1=（　　）　A．18B．20C．22D．24　5．（2009•安徽）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（　　）　A．﹣1B．1C．3D．7　6．（2005•黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（　　）　A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5　7．（2004•陕西）设数列{an}是等差数列，a2=﹣6，a8=6，Sn是数列{an}的前n项和，则（　　）　A．S4＜S5B．S4=S5C．S6＜S5D．S6=S5　8．（2004•福建）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=（　　）　A．1B．﹣1C．2D．　9．等差数列{an}中，Sn是前n项和，且S3=S8，S7=Sk，则k的值为（　　）　A．4B．11C．2D．12　10．在等差数列{an}中，a1＞0，a10•a11＜0，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是（　　）　A．24B．48C．60D．84　11．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＞0，S8=S13，Sk=0，则k的值为（　　）　A．18B．19C．20D．21　12．{an}是等差数列，且a1+a4+a7=﹣12，a2+a5+a8=﹣6，如果前n项和sn取最小值，则n为（　　）　A．5或6B．6或7C．7D．5　13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B=30°，△ABC的面积为，则b等于（　　）　A．B．C．D．　14．已知等差数列的值为（　　）　A．1B．2C．3D．4　15．若数列{an}是等差数列，且a1+a8+a15=π，则tan（a4+a12）=（　　）　A．B．C．D．　16．等差数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an，若S10=31，S20=122，则S40=（　　）　A．182B．242C．273D．484　17．在数列{an}中，an=4n﹣，a1+a2+…+an=an2+bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab等于（　　）　A．1B．﹣1C．2D．﹣2　18．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1=﹣2008时，，则S2008的值为（　　）　A．﹣2006B．2006C．﹣2008D．2008　19．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8﹣S3=20，则S11的值为（　　）　A．44B．22C．D．88　20．已知等差数列{an}中，Sn是前n项和，若S16＞0且S17＜0，则当Sn最大时，n的值为（　　）　A．16B．9C．8D．10　21．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9＜0，a10＞0，则下列结论不正确的是（　　）　A．S10＞S9B．S17＜0C．S18＞S19D．S19＞0　22．在等差数列{an}中，若a3+a8+a13=C，则其前n项和Sn的值等于5C的是（　　）　A．S15B．S17C．S7D．S8　23．已知等差数列{an}中，a1=11，前7项的和S7=35，则前n项和Sn中（　　）　A．前6项和最小B．前7项和最小C．前6项和最大D．前7项和最大　24．设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d＜0，且a3+a11=0，则下列关系式成立的是（　　）　A．S6＞S7B．S6＜S7C．S6=S7D．S14＞0　25．等差数列{an}各项为正数，公差为2，前n项和为Sn，若{}也是等差数列，则a1=（　　）　A．1B．2C．3D．　26．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a11=0，则有（　　）　A．a1+a11＞0B．a2+a10＜0C．a3+a9=0D．a6=6　27．已知数列{an}是等差数列，若a1+a5+a9=2π，则cos（a2+a8）的值为（　　）　A．B．C．D．28．已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则tan（a2+a12）的值为（　　）　A．﹣B．C．D．﹣29．在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则在，，…，中最大的是（　　）　A．B．C．D．30．一个三角形的三个内角A、B、C成等差数列，那么tan（A+C）的值是（　　）　A．B．C．D．不确定2013年4月天哥的高中数学卷参考答案与试题解析　一．选择题（共30小题）1．（2012•市中区）已知a2010与a2011是首项为正数的等差数列{an}相邻的两项，且函数y=（x﹣a2010）（x﹣a2011）的图象如图所示，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）　A．4017B．4018C．4019D．4020考点：数列与函数的综合；等差数列的前n项和．1789103专题：计算题；综合题．分析：由题意利用等差数列的性质可得a2010＞0，且a2011＜0，推出S4019＞0，S4021＜0，再根据图象得a2010+a2011=a1+a4020＜0，可得S4020＜0．从而可得答案．解答：解：由题意可得：a2010＞0，且a2011＜0，又S4019===4019×a2010＞0，根据函数图象的对称轴为故选C．　2．（2012•营口）等差数列{an}的公差d＜0，且，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是（　　）　A．5B．6C．5或6D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．1789103专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．3．（2012•市中区）在函数y=f（x）的图象上有点列{xn，yn}，若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y=f（x）的解析式可能为（　　）　A．f（x）=2x+1B．f（x）=4x2C．f（x）=log3xD．f（x）=考点：等差数列的性质；函数的表示方法；等比数列的性质．1789103专题：计算题．分析：把点列代入函数解析式，根据{xn}是等差数列，可知xn+1﹣xn为常数进而可求得的结果为一个与n无关的常数，可判断出{yn}是等比数列．解答：对于函数f（x）=上的点列{xn，yn}，有yn=xn．由于{xn}是等差数列，所以xn+1﹣xn=d，因此===，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．故选D　4．（2011•江西）设{an}为等差数列，公差d=﹣2，sn为其前n项和，若s10=s11，则a1=（　　）　A．18B．20C．22D．24考点：等差数列的性质．1789103专题：计算题．分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．解答：解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1﹣2（11﹣1）=0，解得a1=20．故选B　5．（2009•安徽）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（　　）　A．﹣1B．1C．3D．7考点：等差数列的性质．1789103专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B　6．（2005•黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（　　）　A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点：等差数列的性质．1789103分析：用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系．解答：解：∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0∴a1+a8=a4+a5∴故选B　7．（2004•陕西）设数列{an}是等差数列，a2=﹣6，a8=6，Sn是数列{an}的前n项和，则（　　）　A．S4＜S5B．S4=S5C．S6＜S5D．S6=S5考点：等差数列的性质．1789103分析：先由通项公式求a1，d，再用前n项和公式验证．解答：解：∵a2=﹣6，a8=6∴a1+d=﹣6，a1+7d=6得a1=﹣8，d=2∴S4=S5故选B8．（2004•福建）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=（　　）　A．1B．﹣1C．2D．考点：等差数列的性质．1789103专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{an}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．　9．等差数列{an}中，Sn是前n项和，且S3=S8，S7=Sk，则k的值为（　　）　A．4B．11C．2D．12解答：解：∵{an}为等差数列，S3=S8，∴a4+…+a6+…+a8=0，∴a6=0；将k=4，代入S7=Sk，有S7﹣S4=a5+a6+a7=3a6=0，满足题意；若k=2，S7=S2，则a3+a4+a5+a6+a7=0，∴a5=0，与题意不符；若k=11，a8+a9+a10+a11=0，不能得出a6=0，若k=12，a8+a9+a10+a11+a12=0，∴a10=0，与题意不符；∴可以排除B、C、D．故选A．　10．在等差数列{an}中，a1＞0，a10•a11＜0，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是（　　）　A．24B．48C．60D．84考点：等差数列的性质．1789103专题：计算题．分析：根据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列{|an|}的前18项和．解答：解：∵a1＞0，a10•a11＜0，∴d＜0，a10＞0，a11＜0，∴T18=a1+…+a10﹣a11﹣…﹣a18=S10﹣（S18﹣S10）=60．故选C．　11．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＞0，S8=S13，Sk=0，则k的值为（　　）　A．18B．19C．20D．21考点：等差数列的性质．1789103专题：计算题．分析：先利用等差数列的求和公式表示出Sn，判断出Sn的图象为开口向下的抛物线y=Ax2+Bx上横坐标为正整数的点，推断出函数图象的对称轴，利用点的对称性求得S21=0，推断出k的值．解答：解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴Sn=An2+Bn，Sn的图象为开口向下的抛物线y=Ax2+Bx上横坐标为正整数的点，抛物线的对称轴为x0==，∵点（0，0）与（21，0）关于直线x0=对称，∴S21=0，即k=21．故选D．　12．{an}是等差数列，且a1+a4+a7=﹣12，a2+a5+a8=﹣6，如果前n项和sn取最小值，则n为（　　）　A．5或