【创新设计】2014届高考数学一轮总复习 第四篇 第6讲 正弦定理和余弦定理课件 理 湘教版

第6讲正弦定理和余弦定理【2014年高考会这样考】1．考查利用正、余弦定理解三角形的问题，常与边之间的和或积、角的大小或三角函数值等综合考查．2．考查正、余弦定理与平面向量、三角形的面积等结合问题．考点梳理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则1．正弦定理和余弦定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bcsinA＝__________＝__________.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．12absinC12acsinB一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．【助学·微博】A．60°B．90°C．120°D．150°答案C考点自测解析由已知可得a2＋b2－c2＝－ab，根据余弦定理得：cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12.故C＝120°.1．(2012·湖北改编)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝()．2．(2012·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()．答案AA.725B．－725C．±725D.2425解析因为8b＝5c，则由C＝2B得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理得cosB＝sinC2sinB＝c2b＝45，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×452－1＝725，故选择A.A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案B解析由正、余弦定理得2·a2＋c2－b22ac·a＝c，整理得a＝b，故△ABC为等腰三角形．3．(2013·奉节模拟)在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状是()．4．在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π3，则∠C的大小为________．解析在△ABC中，由正弦定理，得3sinπ3＝3sin∠B，sin∠B＝12.∵ab，∴∠A∠B，∴∠B＝π6，∴∠C＝π－π3－π6＝π2.答案π25．(2013·郑州调研)已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为________．解析∵asinA＝bsinB＝csinC＝2R＝8，∴sinC＝c8，∴S△ABC＝12absinC＝116abc＝116×162＝2.答案2[审题视点](1)利用余弦定理．(2)利用正弦定理和三角形内角和定理求解．考向一利用正、余弦定理解三角形【例1】►(1)(2012·北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝________.(2)(2012·重庆)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.解析(1)根据余弦定理代入b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)·－14，解得b＝4.(2)由已知条件可得sinA＝45，sinB＝1213，而sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5665，根据正弦定理bsinB＝csinC得c＝145.答案(1)4(2)145(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．【训练1】(1)(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba＝()．A．23B．22C.3D.2(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．解析(1)∵asinAsinB＋bcos2A＝2a，由正弦定理可得sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，∴sinB＝2sinA，即ba＝2.(2)由题可知，sinB＋cosB＝2，所以2sinB＋π4＝2，所以B＝π4，根据正弦定理可知asinA＝bsinB，可得2sinA＝2sinπ4，所以sinA＝12，又a＜b，故A＝π6.答案(1)D(2)π6(1)求角A的大小；[审题视点](1)由正弦定理进行角化边，再用余弦定理求cosA；(2)利用三角形内角和定理用角B表示角C，求角B，从而确定三角形的形状．考向二判断三角形形状【例2】►(2013·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．解(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3.∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.∵0°B120°，∴30°B＋30°150°.∴B＋30°＝90°，B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形．解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【训练2】(1)(2012·上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()．(2)在△ABC中，acosπ2－A＝bcosπ2－B，则△ABC的形状为________．答案(1)A(2)等腰三角形解析(1)由sin2A＋sin2Bsin2C，得a2＋b2c2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形．(2)由acosπ2－A＝bcosπ2－B，得：asinA＝bsinB，由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b，故△ABC为等腰三角形．[审题视点](1)由正弦定理进行边化角；(2)由余弦定理和面积公式建立关于b，c的方程组，求b，c.考向三与三角形面积有关的问题【例3】►(2012·新课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.解(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0，及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosA·sinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0Aπ，所以－π6A－π65π6，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．【训练3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，b＝2，求△ABC的面积S.解(1)由正弦定理，则2c－ab＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2，得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝14，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×14.解得a＝1，从而c＝2.因为cosB＝14，且0Bπ，所以sinB＝154，因此S＝12acsinB＝12×1×2×154＝154.【命题研究】通过近三年的高考试题分析，除了考查利用正、余弦定理、面积公式求三角形的边、角、面积之外，常常在解答题中考查解三角形与三角函数、平面向量、数列、不等式等知识交汇，难度中等．热点突破11——解三角形与其他知识的交汇问题[教你审题]一审由已知等式和余弦定理消去c；二审用a，b表示出cosC；三审由基本不等式求最小值．【真题探究】►(2012·陕西)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()．A.32B.22C.12D．－12[答案]C[反思]本题考查余弦定理和基本不等式，易错点有三：一是余弦定理公式记错；二是不能消去参数c，无法得出关于a，b的代数式；三是基本不等式用错．[解法]由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，又c2＝12(a2＋b2)，得2abcosC＝12(a2＋b2)，即cosC＝a2＋b24ab≥2ab4ab＝12，所以选C.答案A【试一试】(2012·湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→＝1，则BC＝()．A.3B.7C．22D.23解析设角A，B，C的对边分别为a，b，c.AB→·BC→＝1，即accosB＝－1.在△ABC中，再根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，及AB＝c＝2，AC＝b＝3，可得a2＝3，即a＝3.