有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.4利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较7.6几种特殊类型滤波器简介第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点1.线性相位条件对于长度为N的h(n)，频率响应函数为10()()()()()NjjnnjjgHehneHeHe(7.1.1)(7.1.2)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计Hg(ω)-----幅度特性，Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值。θ(ω)-----相位特性。H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即θ(ω)=-τω,τ为常数（第一类线性相位）如果θ(ω)满足下式：θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位（第二类线性相位）0()2dd(7.1.3)(7.1.4)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计线性相位FIR的时域约束条件满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列，且关于n=(N-1)/2点偶对称，即h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列，且关于n=(N-1)/2点奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计(1)第一类线性相位条件证明：10()()()()NjjnjgnHehneHe10()(cossin)()(cossin)NgnhnnjnHj(7.1.7)1010()cos()cos()sin()sinNgnNgnHhnnHhnn第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计10()sin[()]0Nnhnn1010()coscossin()sinNnNnhnnhnn1100()cossin()sincosNNnnhnnhnn要求满足下列条件1()2()(1)NhnhNn【】10()sincoscossin0Nnhnnn第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计(2)第二类线性相位条件证明：10()cos[()]0Nnhnn用同样的方法可得：1()22()(1)NhnhNn第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(7.1.8)式，幅度函数Hg(ω)为101()()cos[()]2NgnNHhnn式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计(3)/2011()()2()cos[()]22NgnNNHhhnn10()()2()cos[()]MgnHhhnn上式中，由于cosωn项对ω=0,π,2π皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对ω=0,π,2π是偶对称的，可实现各种滤波器。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数101201()()cos[()]212()cos[()]2NgnNnNHhnnNhnn1,cos[()]cos[()]222sin[()]02NNnnNn()0,gH所以，不能实现高通和带阻滤波器。对ω=0,2π皆为偶对称。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数1011201()()sin[()]212()sin[()]2NgnNnNHhnnNhnn上式中，由于sin项在ω=0,π,2π皆为0，因此幅度特性的特点是对ω=0,π,2π是奇对称的，只能实现带通滤波器。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况，推导如下：101201()()sin[()]212()sin[()]2NgnNnNHhnnNhnn上式中，由于sin项在ω=0,2π皆为0，因此幅度特性的特点是对ω=0,2π是奇对称的，不能实现低通和带阻，不能实现低通和带阻滤波器。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计3.线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的分别满足：()(1)hnhNn(1)1()()NHzzHz1011(1)00()()(1)()NnnNNnNmnmHzhnzhNnzhmz1()0,()0iiHzHz*1*()0,[()]0iiHzHz第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计(1)1()()NHzzHz图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有11120021122(1)00()()()()()()(1)()(1)NNNnnnNnmnNNnNmnmHzhnzhnzhnzHzhnzhNmzhnhNn令m=N-n-1,则有第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计12(1)0(1)121(1)20()()[]()()[](1)2NnNnnNNnNnnHzhnzzNHzhnzzhz如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.2第一类线性相位网络结构x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N/2－1)x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h((N－1)/2)N＝偶数N＝奇数第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.3第二类线性相位网络结构x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N/2－1)x(n)y(n)z－1z－1z－1z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h((N－1)/2)N＝偶数N＝奇数－1－1－1－1－1－1－1－1－1第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.2.1窗函数法设计原理设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此()()1()()2jjnddnjjnddHehnehnHeed第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计相应的单位取样响应hd(n)为,()0,||jacjdceHe(7.2.1)sin(())1()2()ccjajncdnahneedna(7.2.2)为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)线性相位理想低通第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，10()()NnnHzhnz图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计我们知道Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数()()jjnddnHehne对h(n)=hd(n)RN(n)进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：()1()()()2jjjdNHeHeRed(7.2.4)式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即1()201011sin(/2)si()()(n(/2))NjNjNjjnjaNNNnnnNeeReRneRe(7.2.5)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计sin(/2)1(),sin(/2)2NNNRRN(ω)称为矩形窗的幅度函数；将Hd(ejω)写成下式：()()jjaddHeHe按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)为1,()0,cdcH将Hd(ejω)和RN(ejω)代入(7.2.4)式，得到：()1()()()21()()2jjajadNjadNHeHeRedeHRd第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计将H(ejω)写成下式：1()()21()()()2jjadNNHeHeHHRd(7.2.6)1,()0,sin(/2)()sin(/2)cdcNHNR第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计对hd(n)加矩形窗处理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差别有以下两点：(1)在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN(ω)主瓣宽度，即4π/N。(2)通带内增加了波动，最大的峰值在ωc-2π/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN(ω)可近似为sin(/2)sin()/2NNxRNx加大N只能减小过渡带，并不是减小减小吉布斯效应的有效方法。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2.2常用的窗函数介绍。设h(n)=hd(n)w(n)式中w(n)表示窗函数。1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWeesin(/2)4()sin(/2)jRggNWeBN第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2.三角形窗(BartlettWindow)21,0(1)12()212,(1)112BnnNNnnNnNN(7.2.8)其频率响应为122sin()24()[]sin(/2)NjjBNWeeN(7.2.9)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计3.汉宁(Hanning)窗——升余弦窗1211222()0.5[1cos()]()1()[()]()2()[()]{0.5()0.25[()12()]}()1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFTRnWeWeFTWnWWNWeWeN当N1时，N-1≈N，22()0.5()0.25[()()]HnRRR第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.3汉宁窗的幅度特性第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计4.哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗2()[0.540.46cos()]()1HmNnnRnN(7.2.11)其频域函数WHm(ejω)为22()()11()0.54()0.23()0.23()22()0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN