大学物理(c)习题下

《大学物理学(c)》60题（下）（18）平均值28．有10个粒子，其速度若以m/s为单位，则分别为1，2，4，6，8，9，10，11，12，15，试计算它们的平均速率和方均根速率。解：平均速率为smNvvi/8.71015121110986421方均根速率为smvrms/9.810151211109864212222222222（19）理想气体状态方程及分子平均速率29．已知某真空设备的真空度可达到10-15大气压，试问在此压强下，温度为27℃时，1m3体积中含有多少个气体分子？解：nkTP31023515/1045.2)27273(1038.110013.110mkTPn30．容器内某理想气体的温度为KT273，压强PaP310013.1，密度为32/1025.1mkg，试求：（1）气体分子运动的方均根速率；（2）气体的摩尔质量，它是何种气体;(3)气体分子的平均平动动能和转动动能；（4）单位体积内气体分子的总平动动能：（5）设气体由0.3摩尔，求其内能。解：（1）由理想气体的状态方程RTMmPV得：molkgPRTM/028.010013.127331.81025.132方均根速率为smMRTvrms/493028.027331.833（2）气体的摩尔质量为0.028kg/mol,该气体是氮气。（3）氮气为双原子分子，其平均平动动能为：JkTt21231065.52731038.12323平均转动动能为JkTr21231077.32731038.12222（4）单位体积内气体分子的总平动动能：JkTkTPnEtt331052.110013.15.123（5）内能为：JRTiMmE3107.127331.8253.0231．容器中有氧气，其压强为Pap510013.1，温度为27℃，试求：（1）单位体积中的分子数n；(2)氧分子质量m;(3)气体密度ρ；分子间的平均距离l;（5）平均速率。解：KTPPa300,10013.15所以（1）325235/1045.23001038.110013.1mkTPn（2）kgNMmA2623321031.51002.61032（3）335/30.130031.8103210013.1mkgRTPM（4）mnd93253104.31045.211（5）smMRTv/446103230031.86.160.13（20）道尔顿分压定律32．在33100.1m的容器中，含有kg5100.4的氦气和同质量的氢气，它们的温度为30℃，试求容器中混合气体的压强。解：气体的分子数密度为：VNMmn0氦气：324323351/10022.6100.1/1002.6100.4100.4mn氢气：324323351/10044.12100.1/1002.6100.2100.4mn混合气体的压强为：PankTP42324107.554)30273(1038.110)044.12022.6(33．试计算在300K的温度下，氢和氧分子的方均根速率和平均平动动能。解：方均根速率：氢气smMRTvrms/1093.1100.230031.83333氧气smMRTvrms/1083.4100.3230031.83323由于平均平动动能只与温度有关，在温度相同的条件下，氢气和氧气分子的平均平动动能相同，值为JkTt21231021.63001038.12323（21）分布函数的计算34．导体中自由电子的运动可以看作类似于气体分子的运动，所以通常称导体中的自由电子为电子气。设导体中共有N个自由电子，电子气中最大速率为vF。电子的速率分布函数为：)(vfFvvAv0,42Fvv,0式中A为常数，试求：（1）用N和Fv确定常数A;（2）电子气中一个自由电子的平均动能。解：（1）由分布函数的归一化条件知：14)(020dvAvdvvfFv343FvA（2）电子气中一个电子的平均动能为：2022022103421)(2121FeveeevmdvAvvmdvvfvmvmF35．一个由N个粒子所组成的系统，其中Kdv0vVdN0vV式中K，V为常数，试求：（1）速率分部函数；（2）由N和V确定常数K；（3）计算该系统中粒子的平均速率和方均根速率。解：（1）由归一化条件得：N＝KVKdvdNVN00K＝VN所以分布函数为f（v）＝VNdvdvVNNdvdN1（2）VNK（3）0021)(VVdvVvdvvvfvvVVVvdvvfvv00222231)(Vvvrms33236．根据麦克斯伟速率分布率，求平动动能得最概然值。解：麦克斯伟速率分布率为dN＝N4dddvvNfdvvNfdvvekTkTv))(()()2(22232其中221v为平动动能，对其两边求导可得：d＝dvvdvvdv2221定义平动动能的分布函数为：ddvvfNddddvvNfNddNF))(())(()(将2v和分布函数得：代入麦克斯韦为21ddvF（）＝4kTAeekTkT212223）（最概率值的条件为:,0)(值为所以平动动能的最概然ddFkTp21（22）大气中压强随高度的变化规律37．一飞机在地面时机舱中的压力计指示为Pa510013.1，到高空后压强降为Pa41011.8，设大气的温度为27C，求此飞机离地面的高度是多少？（设空气的摩尔质量为121089.2molkg）。解：RTMghePP0所以RTMghPP0lnmPPMgRTh345201093.11011.81001.1ln80.9109.2830031.8ln（23）平均自由程38．在压强为Pa51001.1下，氮气分子的平均自由程为cm6100.6，当温度不变时，在多大压强下，其平均自由程为1mm.解：PPdkT22所以3561006.61001.1100.6PPaP06.6100.11006.63339．（1）求氮气在标准状态下每秒钟的平均碰撞次数？（2）若温度不变，气体压强降到Pa41033.1，每秒中分子的平均碰撞次数又为多少（设分子的有效直径为m1010）？解：（1）smMRTv/454102814.327331.8883mPdkT75210232105.810013.1)100.1(14.341.12731038.12svz/103.58（2）温度不变，所以smv/454不变，但平均自由程变为：mPdkT5301033.1)100.1(14.341.12731038.124210232svz/86.040．设容器内盛有质量为m1和m2的两种不同的单原子气体，此混合气体处于平衡状态室内能相等，均为E，若容器体积为V,试求：（1）两种气体算术平均速率1v和2v之比；（2）混合气体的总压强。解：（1）气体分子算术平均速率的表达式为：MRTv8，在温度相同得条件下，两种气体的速率之比为：1221MMvv氮原子理想气体的内能为：RTE23，在温度相同得条件下，内能与摩尔数成正比。现内能相同，所以两种气体的摩尔数也相同，这样：12122112mmMMvvmm（2）理想气体的状态方程为RTPV，对于单原子理想气体，该式可化为：ERTPV32所以：VEPVEP32,3221根据道尔顿分压定律，混合气体总压强为：VEPPP3421振动与波动（24）振动方程41．设简谐振动的方程为)420cos(1.0txm求：（1）振动的振幅、频率和初相位；(2)t=0.2s时的位移、速度。解：（1）4,10,1.00HzmA（2）)420sin(2tdtdxv所以t=0.2s时的位移为：mx071.0)42.020cos(1.0速度为：mv44.4)42.020sin(2（25）振动的能量42．一个kg3100.2的质点做简谐振动，其振动方成为)25cos(100.62tx（m）求：（1）振幅和周期；（2）起始位移和速度；（3）s2时的位移、速度、加速度、动能和时能。解：（1）振幅为m2100.6，周期为0.796s。（2）速度的表达式为：)5sin(30.02tv所以起始位移为0，起始速度为0.30m/s。（3）t=s2时,位移为mx22100.6)225cos(100.6速度为0)225sin(30.0v加速度为22/50.1)5cos(50.12smtdtdvat动能为0KE势能为（为最大值）JAmkAEp42223222100.9)100.6(5100.25.02121（26）振动的合成43．两个同方向、同频率的谐振动，其表达式为mtx)62cos(101.521mtx)32cos(100.822求合振动的方程。解：mtx)62cos(101.521mtx)32cos(100.822合振动方程为mtAx)2cos(，其中)cos(212212221AAAAA)63cos(100.8101.52)100.8()101.5(222222m21049.9)3cos(100.86cos101.5)3sin(100.86sin101.52222tg5202.042.838.4rad47.0所以合振动的方程为mtx)47.02cos(1049.92（27）波动方程44.有一简谐波的波源,其频率为250Hz,波长为0.1m,振幅为0.02m,求::(1)距波源1.0m处一点的振动方程及振动速度;(2)t]=0.01s时的波形方程;(3)波的转播速度;解:0.02mA0.1m,,250Hz(1)smv/2501.0rad/s5002波动方程为)(cosvxtAy代入得)25(500cos02.0xty距波源1.0m处的振动方程:)250.1(500cos02.0ty)04.0(500cos02.0t)20500cos(02.0xt)sin(tAut500sin02.0500t500sin10(2))2501.0(500cos02.0xy)205cos(02.0x(3)smv/2545.一简谐横波以0.8m/s的速度沿一长弦线传播.在x=0.1m处,弦线质点的位移随时间的变化关系为)0.40.1sin(05.0ty,求波动方程.解:由x=0.1m处质点的振动方程)0.40.1sin(05.0ty可得10.4s,所以m4.00.4/8.02/2v任意x点的振动和x=0.1m处振动的时间差为:8.01.01.0xvxt所以波动方程为:))8.01.0(0.40.1sin(05.0xty)5.00.45sin(05.0tx这就是沿x轴正方向传播的波动方程,沿负方向传播的波动方程为:)