定积分与微积分基本定理复习课件

第13课时定积分与微积分基本定理目录2016高考导航考纲展示备考指南1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.本部分主要有两种题型，一是定积分的计算，二是用定积分求平面图形的面积．高考中，多以选择题或填空题的形式考查定积分的概念和计算以及曲边梯形面积的求法，难度较小.目录教材回顾夯实双基基础梳理1.定积分的定义和相关概念(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式_________________________，当n→∞时，i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)目录上述和式无限接近__________，这个常数叫做函数f(x)在区[a，b]上的定积分，记作______________，即∫baf(x)dx＝_____________________．(2)在abf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，_________叫做被积函数，____叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．abf(x)dx某个常数limn→∞i＝1nb－anf(ξi)函数f(x)x目录思考探究积分abf(x)dx与abf(t)dt是否相等？提示：相等．定积分的大小仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量无关．目录2.定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫baf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分∫baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的和(图乙中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．目录3.定积分的性质(1)∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx(k为常数)；(2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝_________________________；(3)∫baf(x)dx＝________________________(其中a＜c＜b)．∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx目录4.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝______________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作_________，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．F(b)－F(a)F(x)|ba目录3.(2011·高考湖南卷)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.3目录4.(2012·高考江西卷)计算定积分－11(x2＋sinx)dx＝________．解析：∵13x3－cosx′＝x2＋sinx，∴－11(x2＋sinx)dx＝13x3－cosx1－1＝23.答案：23目录5.(2013·长春市模拟)设f(x)＝x2，x∈[0，1]1x，x∈（1，e](e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为________．解析：依题意得0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝x33||10＋lnxe1＝13＋1＝43.答案：43目录例1考点1定积分的计算利用微积分基本定理求下列定积分：(1)12(x2＋2x＋1)dx；(2)0π(sinx－cosx)dx；(3)02x(x＋1)dx；(4)12e2x＋1xdx.目录【规律小结】求简单定积分的步骤：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．目录例2考点2利用定积分的几何意义求定积分若定积分－2m－x2－2xdx＝π4，则m等于()A．－1B．0C．1D．2目录【解析】根据定积分的几何意义知，定积分－2m－x2－2xdx的值，就是函数y＝－x2－2x的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝－x2－2x是一个半径为1的半圆，其面积等于π2，而－2m－x2－2xdx＝π4，即在区间[－2，m]上该函数图象应为14的圆，于是得m＝－1，故选A.【答案】A目录【规律小结】求由不同曲线围成的图形的面积时，若被积函数的原函数难以找到，但被积函数具有明显的几何意义，可利用几何法求其面积．目录跟踪训练解：由于函数y＝sinx在区间[－π2，π2]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在x轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即目录例3考点3定积分在物理中的应用一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：(1)在t＝4s的位置；(2)在t＝4s内运动的路程．【解】(1)在时刻t＝4时该点的位置为04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t|40＝43(m)，即在t＝4s时刻该质点距出发点43m.目录(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0，1]及[3，4]上的v(t)≥0，在区间[1，3]上，v(t)≤0，所以t＝4s时的路程为s＝01(t2－4t＋3)dt＋|13(t2－4t＋3)dt|＋∫43(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t|10＋|13t3－2t2＋3t|31|＋13t3－2t2＋3t|43＝43＋43＋43＝4(m)，即质点在4s内运动的路程为4m.目录【规律小结】(1)作变速直线运动的路程s等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间[a，b]上的定积分abv(t)dt.(2)作变速直线运动的速度v，等于其加速度函数a＝a(t)在时间[a，b]上的定积分aba(t)dt.(3)如果力F(x)使得物体沿力的方向由x＝a运动到x＝b(ab)，则力F(x)对物体所做的功W＝abF(x)dx.目录方法感悟1.被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分．2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是积分变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．目录名师讲坛精彩呈现例易错警示因不能正确理解定积分的几何意义致误(2011·高考课标全国卷)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4C.163D．6【常见错误】解答本题易出现两点错误：一是不理解定积分的几何意义写错图形面积与定积分间的关系，二是积分上、下限确定出错．目录【解析】y＝x与y＝x－2以及y轴所围成的图形面积为如图所示的阴影部分，联立y＝xy＝x－2得交点坐标为(4，2)，故所求面积为S＝04[x－(x－2)]dx＝[23x32－(x22－2x)]|40＝163.【答案】C目录【防范措施】使用定积分的几何意义求定积分和使用定积分的方法求曲边图形的面积是有区别的．使用定积分的几何意义计算定积分，定积分的值是“面积的代数和”，即面积是带有符号的，当函数图象在x轴下方时，这个值是负值，只有函数图象在x轴上方时，定积分的值才是正值，因此在使用定积分的几何意义求定积分时一定要注意该点．目录跟踪训练4.若y＝f(x)与y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑的曲线，且两条曲线在[a，b]上不相交，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为()A.ab[f(x)＋g(x)]dxB.ab[g(x)－f(x)]dxC.ab|f(x)－g(x)|dxD.ab[f(x)－g(x)]dx目录解析：选C.由定积分的几何意义可知，曲线围成的图形面积是定积分得出的结果，当f(x)＞g(x)时，所求的面积为ab[f(x)－g(x)]dx；当f(x)≤g(x)，所求的面积为ab[g(x)－f(x)]dx.综上可知，所求的平面区域的面积为ab|f(x)－g(x)|dx.目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放