8.2-立体图形的直观图

8．2立体图形的直观图第八章立体几何初步考点学习目标核心素养平面图形的直观图会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图直观想象简单几何体的直观图会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图直观想象直观图的还原与计算会根据斜二测画法规则进行相关运算直观想象、数学运算第八章立体几何初步栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步问题导学预习教材P107－P111的内容，思考以下问题：1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝______(或______)，它们确定的平面表示____________．水平面45°135°栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于______或______的线段．(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中________________________，平行于y轴的线段，长度为原来的______．保持原长度不变一半x′轴y′轴栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步2．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为______.虚线栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步■名师点拨(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．()(3)相等的角在直观图中仍相等．()×√×栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为()A．90°，90°B．45°，90°C．135°，90°D．45°或135°，90°解析：选D.根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°.栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步下列关于直观图的说法不正确的是()A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同解析：选A.平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错．栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步利用斜二测画法画边长为1cm的正方形的直观图，可能是下面的()解析：选C.正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步如图所示的直观图△A′O′B′，其原平面图形的面积为__________．答案：6栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．画水平放置的平面图形的直观图栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图．(其中O，E分别为线段AB，DC的中点)解：(1)画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图．栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．画简单几何体的直观图【解】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步画空间图形的直观图的原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的12.栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步由如图所示几何体的三视图画出直观图．栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步解：(1)画轴．如图①，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′，如图①.栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图，如图②.①②栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．直观图的还原与计算栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步【解】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.所以面积为S＝2＋32×2＝5.栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步(1)直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝24S或S＝22S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步解析：选D.如图①②所示为实际图形和直观图．由②可知，B′C′＝BC＝a，O′A′＝12OA＝34a，在图②中作A′D′⊥B′C′于点D′，则A′D′＝22O′A′＝68a.所以S△A′B′C′＝12B′C′·A′D′＝12×a×68a＝616a2.栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点答案：B栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()解析：选C.由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴，故选C.栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步3．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为()A．2SB.2SC．22SD.3S栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步解析：选C.法一：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h，C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于点D′(图略)，则C′D′＝22h.由题意知12C′D′(C′B′＋O′A′)＝S，即24h(C′B′＋O′A′)＝S.栏目导引应用案巩固提升测评案达标反馈探究案讲练互动预习案自主学习第八章立体几何初步又原直角梯形面积为S′＝12·2h(