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一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛三、小结与练习上页返回下页高等数学定义:正负项相间的级数,称为交错级数。可以写成下面两种形式:nnuuuuu14321)1(nnuuuuu)1(4321或其中,2,1,0nun11)1(nnnu1)1(nnnu一、交错级数及其审敛法上页返回下页高等数学定理7(莱布尼兹定理)如果交错级数11)1(nnnu满足条件:),,2,1()1(1nuunn0lim)2(nnu则交错级数收敛,其和,1us1||nnuR余项满足nnuuuuu14321)1(说明:1.莱布尼兹定理的条件(1)不是必要条件(条件(2)是必要的)。2.定理同时给出了级数的和与余项的估计式。3.定理应用的关键是条件1的验证。上页返回下页高等数学定理7(莱布尼兹定理)如果交错级数11)1(nnnu满足条件:),,2,1()1(1nuunn0lim)2(nnu则交错级数收敛,其和,1us1||nnuR余项满足nnuuuuu14321)1(4.检验条件(1)常用的方法(1)比值法:考察11nnuu是否成立?(2)差值法:考察01nnuu是否成立?(3)导数法:找一函数f(x),使,)(nunf且当x充分大时,0)(xf是否成立?上页返回下页高等数学证明nnnnuuuuuus212223212)()(又)()()(21243212nnnuuuuuus1u,01nnuu.lim12ussnn,0lim12nnu,2是单调增加的数列ns,2是有界的数列ns上页返回下页高等数学)(limlim12212nnnnnuss,s.,1uss且级数收敛于和),(21nnnuur余项,21nnnuur满足收敛的两个条件,.1nnur定理证毕.上页返回下页高等数学例1:11)1(nnn解nun1)1(11n1nunnulim)2(01limnn所以级数收敛,其和小于1,1||nnuR11nnn1)1(4131211上页返回下页高等数学例2:判别下列交错级数的收敛性1)1()2()1(.1nnnnn解,)1(2)1(nnnunnnuu1)2(1)2(3nnnnnulim,0)1(2limnnnn)2()1(nnn1nn2)2()1)(3(nnn1443422nnnn1由莱布尼茨判别法,所给交错级数收敛。上页返回下页高等数学例2:判别下列交错级数的收敛性1ln)1(.2nnnn解,ln)1(nnun,ln)()2(xxxf取nnnfln)(则f(x)单调下降nnulimnnnlnlim,ln1)(2xxxf且,时当exxxxlnlimxx1lim0,nu,0)(xf所以当n3时,必有),()1(nfnf,1nnuu即由莱布尼茨判别法,所给交错级数收敛。上页返回下页高等数学例2:判别下列交错级数的收敛性1111131131121121.3nn解)121121(这是交错级数,但不满足莱布尼茨条件。将原级数相邻两项加括号)131131()1111(nn2v23v1nv12n2nnv212nn12nn发散,性质4:若级数收敛,则任意加括号后所得新级数也收敛所以原级数发散.上页返回下页高等数学(二)绝对收敛与条件收敛考虑任意项级数1nnunuuu21一般项取绝对值后所得级数记为1||nnu||||||21nuuu(1)若1||nnu收敛,则称原级数1nnu绝对收敛(2)若1||nnu发散,而1nnu收敛,则称原级数1nnu条件收敛。问题:级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系?上页返回下页高等数学定理8:若级数1nnu绝对收敛,1||nnu则原级数即收敛,1nnu必定收敛。(1)该结论的逆命题不成立。(2)定理提供了检验一般级数1nnu是否收敛的一种有效方法。(3)若1||nnu发散,不能断定1nnu也发散,但若是用比值或根值判别法判断1||nnu发散,则可断定原级数1nnu一定发散。上页返回下页高等数学定理若1nnu收敛,则1nnu收敛.证明),,2,1()(21nuuvnnn令,0nv显然,nnuv且,1收敛nnv),2(11nnnnnuvu又1nnu收敛.上页返回下页高等数学任意项级数1nnu收敛性判断的一般步骤:(1)检验(3)用正项级数审敛法检验1||nnu是否收敛?则原级数绝对收敛,从而收敛,(4)若1||nnu发散,但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。0limnnu是否成立?若否,则原级数发散若是或0limnnu难求,则进行下一步;若是,否则,进行下一步;(2)若原级数为正项级数或交错级数,则可用正项级数或莱布尼茨判别法检验其收敛性,否则进行下一步(5)用性质或其它方法。上页返回下页高等数学例1:判别级数的收敛性。12sinnnn解:记|sin|2nnun21n而级数121nn因此原级数12sinnnn所以由比较判别法知,级数12|sin|nnn是p=2的p级数,收敛,收敛。绝对收敛,从而收敛。|,sin|2nnun则上页返回下页高等数学例2:判定级数的敛散性。0!nnnx解:这里x可正可负,故它是一个任意项级数nnnuu1limnnnxnnx!!)1(lim1)1(||limnxn10所以,原级数对一切x!limnxnn从而有0)(0!limxnxnn都绝对收敛考察正项级数,|!|0nnnx|,!|nxunn记上页返回下页高等数学例3:判定级数的敛散性。1nnnx解:nnnuu1limnnnxnnx1lim11||limnxnn||x当|x|1时,原级数绝对收敛,|x|1时,从而收敛,1||nnnx考察正项级数,||0nnnx|,|nxunn记发散,且是用比值法判别的,所以原级数1nnnx发散。上页返回下页高等数学例3:判定级数的敛散性。1nnnx解:nnnuu1limnnnxnnx1lim11||limnxnn||x考察正项级数,||0nnnx|,|nxunn记当x=1时,级数为,11nn调和级数,发散当x=1时,级数为1)1(nnn交错级数,且满足莱布尼兹定理条件,故级数收敛,且为条件收敛。上页返回下页高等数学例3:判定级数的敛散性。1nnnx解:nnnuu1limnnnxnnx1lim11||limnxnn||x考察正项级数,||0nnnx|,|nxunn记当|x|1时,原级数收敛,且为绝对收敛。当|x|1,或x=1时,原级数发散。当x=1时,原级数为交错级数,且满足莱布尼兹定理条件,故级数收敛,且为条件收敛。结论:上页返回下页高等数学113)1()1(nnnn123)1(33321nnn解:这是交错级数,但其对应的绝对值级数为11|3)1(|nnnn113nnnnnnuu1limnnnnn1331limnnn31lim311所以11|3)1(|nnnn故原级数绝对收敛。收敛,例4:判定下列级数是否收敛,如果是收敛,是绝对收敛还是条件收敛。上页返回下页高等数学12)11(21)1()2(nnnnn解:这是交错级数,但其对应的绝对值级数为1|)11(21)1(|2nnnnn12)11(21nnnnnnnulimnnnnn2)11(21limnnn)11(21lim2e1所以1|)11(2)1(|2nnnnn故原级数发散。发散,且是用根值判别法判别的,上页返回下页高等数学1)1()3(nnnnn)1(31211解:这是交错级数,且nun1满足11)1(1nunnun10lim)2(nnu由莱布尼兹定理知,原级数是收敛的1|)1(|nnn又11nn发散,故原级数是条件收敛的(p=1/2的p级数)上页返回下页高等数学四、小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;;,则级数收敛若SSn;,0,则级数发散当nun作业
本文标题:第三节-一般常数项级数
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