定积分与微积分基本定理ppt课件

第4讲定积分与微积分基本定理考纲展示考纲解读1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.定积分与微积分基本定理这部分知识在高考命题中常以选择题和填空题为主要题型,试题以低、中档为主,主要考查定积分的运算、定积分的几何意义,但近年来定积分的知识有和其他知识如几何概型等综合考查的趋势.1.定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0x1…xi-1xi…xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式∑𝑖=1𝑛f(ξi)Δx=∑𝑖=1𝑛𝑏-𝑎𝑛f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作𝑏𝑎f(x)dx,即𝑏𝑎f(x)dx=lim𝑛→∞∑𝑖=1𝑛𝑏-𝑎𝑛f(ξi),其中f(x)叫做被积函数,a叫积分下限,b叫积分上限,f(x)dx叫做被积式,此时称函数f(x)在区间[a,b]上可积.(2)定积分的几何意义如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分𝑏𝑎f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积.几种典型的曲边梯形面积的计算方法:(1)由三条直线x=a,x=b(ab),x轴,一条曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积:S=𝑏𝑎f(x)dx(如图).(2)由三条直线x=a,x=b(ab),x轴,一条曲线y=f(x)(f(x)≤0)围成的曲边梯形的面积:S=𝑓𝑏𝑎(x)d𝑥=-𝑏𝑎f(x)dx(如图).(3)由两条直线x=a,x=b(ab),两条曲线y=f(x),y=g(x)〔f(x)≥g(x)〕围成的平面图形的面积:S=𝑏𝑎[f(x)-g(x)]dx(如图).(4)如图所示,若当a≤x≤c时,f(x)0;当c≤x≤b时,f(x)0,则S=𝑓(𝑥)𝑐𝑎d𝑥+𝑏𝑐f(x)dx=-𝑐𝑎f(x)dx+𝑏𝑐f(x)dx.(3)定积分的性质①𝑏𝑎kf(x)dx=k𝑏𝑎f(x)dx(k为常数);②𝑏𝑎[f1(x)±f2(x)]dx=𝑏𝑎f1(x)dx±𝑏𝑎f2(x)dx;③𝑏𝑎f(x)dx=𝑐𝑎f(x)dx+𝑏𝑐f(x)dx(其中acb).2.微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么𝑏𝑎f(x)dx=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式,其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.微积分基本定理还可以写成形式:𝑏𝑎f(x)dx=F(x)|𝑎𝑏=F(b)-F(a).微积分基本定理表明,求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知求导与积分互为逆运算.1.π0sinxdx等于()A.0B.2πC.πD.2【答案】D【解析】π0sinxdx=(-cosx)|π0=-cosπ-(-cos0)=1+1=2.2.若a=20x2dx,b=20x3dx,c=20sinxdx,则a,b,c的大小关系是()A.acbB.abcC.cbaD.cab【答案】D【解析】a=20x2dx=13x3|02=83,b=20x3dx=14x4|02=4,c=20sinxdx=-cosx|02=1-cos2.因为11-cos22,所以cab.3.(2012·湖北卷,3)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为()A.2π5B.43C.32D.π2【答案】B【解析】由图象可得二次函数的解析式为f(x)=-x2+1,则其与x轴所围图形的面积S=1-1(-x2+1)dx=-𝑥33+x|-11=43.4.设函数f(x)=ax+c(a≠0),若10f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为.【答案】12【解析】∵10f(x)dx=10(ax+c)dx=12a𝑥2+cx|01=12a+c=f(x0)=ax0+c,∴12a+c=ax0+c.故x0=12∈[0,1].5.(2012·陕西西安模拟)设f(x)=𝑥2,x∈[0,1],1𝑥,x∈(1,e](e为自然对数的底数),则e0f(x)dx的值为.【答案】43【解析】依题意,得e0f(x)dx=10x2dx+e11𝑥dx=13x3|01+lnx|e1=43.T题型一定积分的基本运算例1求下列函数的定积分:(1)21(x2+2x+1)dx;(2)π0(sinx-cosx)dx;(3)0-π(cosx+ex)dx;(4)求函数f(x)=𝑥3,0≤x≤1,𝑥,1x≤4,2𝑥-14,4x≤5在区间[0,5]上的定积分.先由定积分的性质将其分解成各个简单函数的定积分,再利用微积分基本定理求解.【解】(1)21(x2+2x+1)dx=21x2dx+212xdx+211dx=𝑥33|12+x2|12+x|12=193.(2)π0(sinx-cosx)dx=π0sinxdx-π0cosxdx=(-cosx)|π0-sinx|π0=2.(3)0-π(cosx+ex)dx=0-πcosxdx+0-πexdx=sinx|-π0+ex|-π0=1-1eπ.(4)50f(x)dx=10f(x)dx+41f(x)dx+54f(x)dx=10x3dx+41𝑥dx+54(2x-14)dx=𝑥44|01+23𝑥32|14+2𝑥ln2-14x|45=14+163-23+32ln2-14×5-16ln2-14×4=16ln2-10912.计算一些简单的定积分,解题的步骤是:(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差;(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;(4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值;(5)计算原始定积分的值.计算𝑏𝑎f(x)dx的关键是找到满足F'(x)=f(x)的函数F(x),其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到.1.求下列函数的定积分:(1)20(4x3+3x2-x)dx;(2)21e2𝑥+1𝑥dx;(3)21|3-2x|dx.【解】(1)20(4x3+3x2-x)dx=20(4x3)dx+20(3x2)dx-20xdx=x4|02+x3|02-12x2|02=(24-0)+(23-0)-12(22-0)=16+8-2=22.(2)∵(lnx)'=1𝑥,12e2𝑥'=e2x,∴21e2𝑥+1𝑥dx=21e2xdx+211𝑥dx=12e2x|12+lnx|12=12e4-12e2+ln2-ln1=12e4-12e2+ln2.(3)21|3-2x|dx=321|3-2x|dx+232|3-2x|dx=321(3-2x)dx+232(2x-3)dx=(3x-x2)|132+(x2-3x)|322=12.T题型二定积分的几何意义例2求曲线y=𝑥,y=2-x,y=-13x所围成图形的面积.观察图象要仔细,求出积分上、下限,找准被积函数.【解】由𝑦=𝑥,𝑦=2-𝑥,得交点A(1,1);由𝑦=2-𝑥,𝑦=-13x,得交点B(3,-1).故所求面积S=10𝑥+13xdx+312-𝑥+13xdx=23𝑥32+16𝑥2|01+2𝑥-13𝑥2|13=23+16+43=136.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤如下:(1)画出图形,确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标,定出积分的上、下限;(2)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置;(3)用位置在上的函数减去位置在下的函数,写出平面图形面积的定积分的表达式;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.2.(2012·山东卷,15)设a0.若曲线y=𝑥与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.【答案】49【解析】由题意可得曲线y=𝑥与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积S=𝑎0𝑥dx=23𝑥32|0𝑎=23𝑎32=a2,解得a=49.T题型三定积分的实际应用例3列车以72km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?【解】由题意知a=-0.4m/s2,初速度v0=72km/h=20m/s.设ts后列车的速度为v,则v=20-0.4t.令v=0,即20-0.4t=0得t=50(s).设列车由开始制动到停止所走过的路程为s,则s=500vdt=500(20-0.4t)dt=(20t-0.2t2)|050=20×50-0.2×502=500(m).故列车应在进站前50s和进站前500m处开始制动.(1)变速直线运动问题:如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≥0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为𝑏𝑎v(t)dt;如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≤0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为-𝑏𝑎v(t)dt.(2)变力做功问题:物体在变力F(x)的作用下,沿与力F(x)相同方向从x=a到x=b所做的功为𝑏𝑎F(x)dx.利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.3.设力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x轴正向相同,求力F(x)对质点M所做的功.【解】变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=101F(x)dx=101(x2+1)dx=13𝑥3+x|110=342.1.设连续函数f(x)0,则当ab时,定积分𝑏𝑎f(x)dx的符号()A.一定是正的B.一定是负的C.当0ab时是正的,当ab0时是负的D.以上结论都不对【答案】A【解析】由𝑏𝑎f(x)dx的几何意义及f(x)0,可知𝑏𝑎f(x)dx表示x=a,x=b,y=0与y=f(x)围成的曲边梯形的面积.故𝑏𝑎f(x)dx0.2.用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是()A.𝑐𝑎f(x)dxB.𝑓𝑐𝑎(x)d𝑥C.𝑏𝑎f(x)dx+𝑐𝑏f(x)dxD.𝑐𝑏f(x)dx-𝑏𝑎f(x)dx【答案】D【解析】由定积分的几何意义知选项D正确.3.(2013届·山东菏泽模拟)设函数f(x)=xm+ax的导函数f'(x)=2x+1,则21f(-x)dx的值等于()A.56B.12C.23D.16【答案】A【解析】由于f(x)=xm+ax的导函数为f'(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,于是21f(-x)dx=21(x2-x)dx=13𝑥3-12𝑥2|12=56.4.(2012·江西卷,11)计算定积分1-1(x2+sinx)dx=.【答案】23【解析】1-1(x2+sinx)dx=13𝑥3-cos𝑥|-11=23.5.直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的图形面积为.【答案】323【解析】由𝑦=2𝑥+3,𝑦=𝑥2,得x1=-1,x2=3.故所求面积S=3-1(2x+3)dx-3-1x2dx=(x2+3x)|-13-13x3|-13=323.