知识讲解-基本不等式-基础

基本不等式【学习目标】1.理解基本不等式的内容及其证明.2.能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.【要点梳理】要点一、基本不等式1.对公式222abab及2abab的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求,ab都是实数，而后者要求,ab都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当ab时取等号”.2.由公式222abab和2abab可以引申出常用的常用结论①2baab（,ab同号）；②2baab（,ab异号）；③222(0,0)1122ababababab或222()(0,0)22abababab要点诠释：222abab可以变形为：222abab，2abab可以变形为：2()2abab.要点二、基本不等式a+bab2≤的证明方法一：几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为22ab.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为22ab.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222abab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab.得到结论：如果+,Rab，那么222abab（当且仅当ab时取等号“=”）特别的，如果0a，0b,我们用a、b分别代替a、b，可得：如果0a，0b,则2abab，（当且仅当ab时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果0a，0b,2abab，（当且仅当ab时取等号“=”）方法二：代数法∵2222()0ababab，当ab时，2()0ab；当ab时，2()0ab.所以22()2abab，（当且仅当ab时取等号“=”）.要点诠释：特别的，如果0a，0b,我们用a、b分别代替a、b，可得：如果0a，0b,则2abab，（当且仅当ab时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果0a，0b,2abab，（当且仅当ab时取等号“=”）.要点三、基本不等式2abab的几何意义如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，ACa,BCb，过点C作DCAB交圆于点D，连接AD、BD.易证~RtACDRtDCB，那么2CDCACB，即CDab.这个圆的半径为2ba，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称2ba为,ab的算术平均数，称ab为,ab的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把2ba看作是正数,ab的等差中项，ab看作是正数,ab的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.要点四、用基本不等式2abab求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.要点诠释：1．两个不等式：222abab与2abab成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如22(3)(2)2(3)(2)是成立的，而(3)(2)2(3)(2)2是不成立的.2．两个不等式：222abab与2abab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.当a=b取等号，其含义是2ababab；仅当a=b取等号，其含义是2ababab.综合上述两条，a=b是2abab的充要条件.3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值.5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案.【典型例题】类型一：对公式222abab及2abab的理解例1.下列结论正确的是()A．当x0且x≠1时，1lg2lgxxB．当x0时，12xxC．当x≥2时，1xx的最小值为2D．当0x≤2时，1xx无最大值【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。【答案】B【解析】A中，当x0且x≠1时，lgx的正负不确定，∴1lg2lgxx或1lg2lgxx；C中，当x≥2时，min152xx；D中，当0x≤2时，1yxx在(0,2]上递增，max132xx.故选B.【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.举一反三：【变式1】0a，0b，给出下列推导，其中正确的有（填序号）.（1）1abab的最小值为22；（2）11()()abab的最小值为4；（3）14aa的最小值为2.【答案】（1）；（2）（1）∵0a，0b，∴11222abababab（当且仅当22ab时取等号）.（2）∵0a，0b，∴112()()24abababab（当且仅当ab时取等号）.（3）∵0a，∴111442(4)42444aaaaaa，（当且仅当144aa即413aa，时取等号）∵0a，与3a矛盾，∴上式不能取等号，即124aa【变式2】给出下面四个推导过程：①∵,abR，∴22ababbaba；②∵,xyR，∴lglg2lglgxyxy；③∵aR，0a，∴4424aaaa；④∵,xyR，0xy，∴[()()]2()()2xyxyxyyxyxyx.其中正确的推导为（）A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】D【解析】①∵,abR，∴,baRab，符合基本不等式的条件，故①推导正确.②虽然,xyR，但当(0,1)x或(0,1)y时，lg,lgxy是负数，∴②的推导是错误的.③由,aR不符合基本不等式的条件，∴4424aaaa是错误的.④由0,xy得,yxxy均为负数，但在推导过程中，将整体xyyx提出负号后，()()xyyx均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.类型二：利用基本不等式证明不等式例2.已知3a，求证:473aa【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.【解析】444(3)32(3)32437333aaaaaa（当且仅当433aa即5a,等号成立）.【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.举一反三：【变式】已知x、y都是正数，求证：2yxxy.【答案】∵x、y都是正数，∴0xy，0yx，∴22xyxyyxyx（当且仅当yxxy即xy时,等号成立）故2yxxy.例3.已知a、b、c都是正数，求证：()()()8abbccaabc【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。【解析】∵a、b、c都是正数∴20abab（当且仅当ab时，取等号）20bcbc（当且仅当bc时，取等号）20caca（当且仅当ca时，取等号）∴()()()2228abbccaabbccaabc（当且仅当abc时，取等号）即()()()8abbccaabc.【总结升华】1.在运用abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2.三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3.在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.举一反三：【高清课堂：基本不等式392186例题3】【变式】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bccaababcabc.【答案】证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴222bcacabccabab，222acababcabcbc，222bcababcbacac.∴bccaababcabc.类型三：利用基本不等式求最值例4.若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为．【思路点拨】要求最小值的式子中有两个未知数x、y,先利用已知条件转化为一个未知数，然后利用2abab求最小值。【答案】22【解析】∵xy＝1，∴xy1∴222222222222xxxxyx当且仅当222xx，即42x时取等号，故答案为：22【总结升华】1.形如()BfxAxx（0x，0A，0B）的函数的最值可以用基本不等式求最值；2.利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数,若为负数,则添负号变正.举一反三：【变式1】若0x,求9()4fxxx的最大值.【答案】因为0x,所以0x,由基本不等式得:999()(4)(4)()2(4)()23612fxxxxxxx,（当且仅当94xx即32x时,取等号）故当32x时,9()4fxxx取得最大值12.【变式2】已知0x，当x取什么值时，函数2281()fxxx的值最小？最小值是多少？【答案】∵0x，∴20x，∴22228181()218fxxxxx（当且仅当2281xx即3x时，取等号）故当3x时，2281xx的值最小为18.例5.已知x＞0，y＞0，且191xy，求x+y的最小值.【思路点拨】要求xy的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.【解析】方法一：∵191xy，∴199()10yxxyxyxyxy∵x＞0，y＞0，∴9926yxyxxyxy（当且仅当9yxxy，即y=3x时，取等号）又191xy，∴x=4，y=12∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.方法二：由191xy，得9yxy∵x＞0，y＞0，∴y＞999991(9)109999yyxyyyyyyyyy∵y＞9，∴y－9＞0，∴9992(9)699yyyy（当且仅当999yy，即y=12时，取等号，此时x=4）∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.【总结升华】方法一是条件最值常用的变形方法，方法二利用了代数消元的方式变为函数的最值来求.举一反三：【变式1】(2015福建)若直线1(00)xyabab，过点(1，1)，则a+b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5【答案】由已知得111ab，则11()()2baabababab，因为a＞0，b＞0，所以22，babaabab因为a＞0，b＞0，所以22，babaabab故a+b≥4，当baab，即a=b=2时取等号．【高清课堂：基本不等式392186例题1】【变式2】已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则11xy的最小值