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摘要变量代换的思想在解微分方程中有着广泛的应用.通过对原方程的变量(自变量或因变量)用新的变量代换,使原方程化为相对易解的方程类型,从而达到求解的目的.本文阐述了变量代换在求解一阶及高阶微分方程中的应用.关键词:变量代换微分方程一阶高阶AbstractVariablesubstitutionhasawiderangeofapplicationsinsolvingdifferentialequations.Theoriginalequationbythevariable(theindependentvariableordependentvariable)withthenewvariablesubstitution,sothattheoriginalequationisreducedtoarelativelyeasysolutionoftheequationtype,soastoachievesolvethepurpose.Inthispaper,thevariabletransformationinsolvingthefirstorderandhigherorderdifferentialequation.Keywords:variablesubstitutiondifferentialequationthefirstorderthehigherorder目录前言……………………………………………………………………………………1第一章变量代换在求解一阶微分方程中的应用…………………………………2第二章变量代换方法在求解某些类型高阶微分方程中的应用…………………8致谢辞………………………………………………………………………………15参考文献……………………………………………………………………………161变量代换在求解微分方程问题中的应用前言常微分方程是本科数学专业的一门重要专业基础课,熟悉各种类型的常微分方程的解法,是本课程最基本的要求.常微分方程的解法众多,技巧性很强.对于一阶微分方程,利用初等积分法,可把常微分方程的求解问题转化为积分问题,它是一阶微分方程最基本的解法,而变量分离方程是一阶微分方程中一个最基本的类型,可以利用分离变量的方法,借助于积分法来求其通解.我们用初等积分法求解常微分方程的一条重要路线就是寻找适当的变量变换,将所给的方程化为变量分离方程.很多类型的一阶微分方程都以通过适当的变量变换化为变量分离方程.如何寻求恰当的变量变换将给定的方程化为变量分离方程,没有一般的方法,但是对于一些特殊类型的方程,这种变量变换却有固定的形式.此外,变量代换在求解高阶微分方程中也有广泛的应用.本文就变量变换进行讨论,阐述其在求解一阶及高阶常微分方程中所起的重要重用.2第一章变量代换在求解一阶微分方程中的应用1.1齐次方程形如xyfdxdy的方程通常称为齐次方程.下面利用变量代换求解齐次方程.作变量代换xyu,则dxduxydxdyuxy,.代回原方程,整理后可得uufdxdux此时方程转化为分离变量方程,故可求其通解.例1解方程yxyxdxdy2332解令xyu可得uxy,代入方程得32122uudxdux分离变量,再积分,化简整理可得114ucxu再代回原变量,得原方程的通解xycxy5该类情形的方程可以推广到形如xyfxxydxdy的方程.1.2形如222111cybxacybxadxdy的方程(其中222111,,,,,cbacba都为常数)当021cc时,方程就是齐次方程.3假设21,cc不同时为0,则会出现以下两种情况.1.2.1行列式02211baba通常寻找常数,,使得作平移变换YyXx后,能将方程化为形如XYbaXYbaYbXaYbXadXdY22112211的齐次方程,再作变量代换XYu,从而将原方程化为分离变量方程,故可求其通解.例2解方程823732yxyxdxdy解作平移变换dYdydXdxYyXx,,,原方程化为8232373232YXYXdxdy为了消去方程右边分子,分母的常数项,令08230732从而求得1,2.故令12YyXx后,原方程化为YXYXdXdY2332由例1可知通解为XYCXY5代回原变量得方程的通解315xyCxy1.2.2行列式02211baba4不妨设1212bbaa,此时方程的形状为211111cybxacybxadxdy作变换ybxau11,则可得分离变量方程2111cucubadxdu,从而可求其通解.例3解方程564432yxyxdxdy解令yxu32,则方程可变形为52432uudxdu整理后可得分离变量方程52227uudxdu分离变量,再积分,整理后得Cxuu2714722ln9再代回yxu32,可得原方程的通解Cxyyx2331472232ln91.3形如1aaxxyfdxdy的方程(其中a是已知实数)作变量代换axyu,可将方程化为分离变量方程.将axyu代入方程,整理后可得1aaxauufdxdux这已是分离变量方程.由此可见,形如1aaxxyfdxdy的方程通常是指标为a的广义齐次方程的推5广.例4解方程022223dyxyxdxyxy解将dxxdyy,,,分别看作0,1,1,aa次变量时,要是方程左端是齐次式,则a应该满足1112231aaaaa由此可解得21a.因此原方程是指标为21的广义齐次方程.令21xyu,则duxudxxdy212321,代入原方程整理得02232duuxudx分离变量,再积分,整理得342Cxeuu代回原变量,得原方程的通解Cxeyxy241.4其它类型的一阶微分方程1.4.1形如byaxfdxdy的方程(其中0,bba为常数)作变量代换,byaxu可将方程化为分离变量方程,将byaxu和dxdybadxdu代入方程,整理后可得ufbadxdu例5解方程032412dyxydxxy解将方程整理后可得32212xyxydxdu故令xyu2,代入后可得63254uudxdu分离变量后,两边积分可得Cxuu8454ln再代回原变量,得方程通解为Cxxxy84548ln1.4.2形如cbyaxfdxdy的方程(其中0,0,ccbba为常数)作变量代换,cbyaxu,可将方程化为分离变量方程ufbadxdu,进而求解.1.4.3形如xyfxdxdy21的方程作变量代换xyu,从而有2xuxdxdudxdy,可将方程化为分离变量方程uufdxdux)(,进而求解.1.6伯努利方程一阶线性方程xQyxPdxdy的通解为cdxexQeydxxpdxxp,其中c为任意的常数.形如nyxQyxPdxdy的方程,称为伯努利方程.这里xQxP,为x的连续函数,1,0n是常数.伯努利方程是一类非线性的一阶微分方程,对于此类方程,经过适当的变量变换,可以将其化为一阶线性方程.作变量变换nyz1,将方程化为以z为未知函数的一阶线性方程)()1()()1(xQnzxPndxdz从而可对线性方程用初等积分法求解.7例6求方程26xyxydxdy的通解.解这是2n时的伯努利方程.令1yz算得dxdyydxdz2代入原方程得到xzxdxdz6这是线性方程,求得它的通解为826xxcz代回原来的变量y,得到8126xxcy或者cxyx886这就是原方程的通解.1.7黎卡提方程形如)()()(2xRyxQyxPdxdy的方程称为黎卡提方程.在一般情形下不能用初等积分法解出.若已知它的一个特解)(xy,则作变换)(xyzy,代入原方程化为以z未知函数的伯努利方程2)()]()()(2[zxRzxQxyxPdxdz8从而可对伯努利形式的方程用初等积分法求解.第二章变量代换方法在求解某些类型高阶微分方程中的应用在求解某些类型高阶微分方程时,可以通过变量代换化为较低阶微分方程,进而达到求解的目的.2.1变量代换在求解二阶常系数线性微分方程中的应用2.1.1形如axeqyypy(其中qp,为常数)的微分方程对二阶常系数线性非齐次方程axeqyypy(其中qp,为常数)(2.1.1.1)总可以经过变量代换axAezy将原方程(2.1.1.1)转化成关于z的线性齐次方程,其中A是可以确定的待定常数,事实上,由于方程(2.1.1.1)有形如axAe形式的特解,所以令axAezy则有:axaxeAzyeAzy2,将这三个式子代入方程(2.2.1.1)得:axaxaxaxeqAeqzepAzpeAz2(2.1.1.2)整理得012qpAeqzzpzax(2.1.1.3)要使方程(2.2.1.3)成为齐次方程,当且仅当012qpA,从而qpA21(2.1.1.4)容易看出,当不是对应齐次线性微分方程的特征方程02qp的根时,用(2.1.1.4)式所确定的A代替变量代换中的A后,方程(2.1.1.1)可化为9一个齐次方程.当为特征方程的一个单根或重根时,同理可得:1)为单根时,pA212)为重根时,21A综上可得一下定理和推论:定理1若不是特征方程的根,则方程axeqyypy可经过变量代换axeqpzy21转化成z的齐次方程0qzzpz.推论1若是特征方程的单根时,则方程axeqyypy可经过变量代换axxepzy21其中qpp22转化成z的齐次方程0qzzpz.推论2若是特征方程的重根时,则方程axeqyypy可经过变量代换axexzy221其中qp221转化成z的齐次方程0qzzpz.2.1.2形如CBxAxeqyypyax2的方程对方程10CBxAxeqyypyax2(2.1.2.1)当不是特征方程的根时,方程(2.2.2.1)有形如FExDxeax2形式的特解,于是可令FExDxezyax2(2.1.2.2)做法同前面一样,代入(2.1.2.1)中并整理得022222222axeCDpqpFxBpDqpExAqpDqzzPz于是令0220220222CDpEqpFBpDqpEAqpD解得3222222222222222222qppqpBpAqpqpCqpAFqpqpBpAEqpAD定理2若不是特征根,则方程CBxAxeqyypyax2总可经过变量代换
本文标题:变量代换在求解微分方程问题中的应用
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