第十六讲-导热微分方程及有内热源的导热问题

2013/12/121工程应用的两个基本目的：•能准确地预测所研究系统中的温度分布；•能准确地计算所研究问题中传递的热流。第七章稳态热传导要解决的问题：温度分布如何描述和表示？温度分布和导热的热流存在什么关系？如何得到导热体内部的温度分布？导热微分方程式及定解条件作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。),,,(τzyxft=理论：导热微分方程式建立的基础是：热力学第一定律+傅里叶定律方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析，依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间的关系式。一、导热微分方程的推导1.物理问题描述三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。2.假设条件(1)所研究的物体是各向同性的连续介质；(2)热导率、比热容和密度均为已知；(2)热导率、比热容和密度均为已知；(3)内热源均匀分布，强度为[W/m3]；(4)导热体与外界没有功的交换。Φ3.建立坐标系，取分析对象（微元体）在直角坐标系中进行分析。导入与导出净热量+内热源发热量=热力学能的增加4.能量变化的分析:（1）导入与导出微元体的热量沿x轴方向、经x表面导入的热量：t∂xyzdxdydzdydzxtΦx∂∂−=λxΦxxΦd+沿x轴方向、经x+dx表面导出的热量：zyxxΦxxΦΦΦxxxdxxdddxt-d⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂+=∂∂+=+λ沿x轴方向导入与导出微元体净热量zyxxtxΦΦdxxxddd⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=−+λ沿y轴方向导入与导出微元体净热量沿z轴方向导入与导出微元体净热量同理可得：zyxytyΦΦdyyyddd⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂=−+λzyxztzΦΦdzzzddd⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=−+λ导入与导出净热量:dxdydzztzytyxtxΦc)]()()([∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=λλλ（2）微元体热力学能（内能）的增量[J]tEcdxdydzρ∂Δ=⋅dxdydzΦΦV=（2）微元体热力学能（内能）的增量[J]EcdxdydzρτΔ∂（3）微元体内热源生成的热量5.导热微分方程的基本形式Φztzytyxtxtc+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)()()(λλλτρ非稳态项三个坐标方向净导入的热量扩散项内热源项1.若导热系数也为常数cΦztytxtatρτ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂222222λ二、一些具体情况下的简化为材料的扩散系数，单位：m2/scaρ=)(222222ztytxtat∂∂+∂∂+∂∂=∂∂τ2.若物性参数为常数且无内热源：为材料的扩散系数，单位：m2/s2013/12/1223.若物性参数为常数、无内热源稳态导热：0222222=∂∂+∂∂+∂∂ztytxt4.一维稳态含内热源导热：0)(=+∂∂∂∂Φxtxλ1.圆柱坐标系（r,Φ,z）三、其它坐标系中的导热微分方程式zzryrx===;sin;cosφφΦ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)()(1)(12ztztrrtrrrtcλφλφλτρ2.球坐标系（r,θ，Φ）θφθφθcos;sinsin;cossinrzryrx=⋅=⋅=Φ+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂)(sin1)sin(sin1)(122222φλφθθθλθθλτρtrtrrtrrrtc四、导热过程的定解条件导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程。是通用表达式。使得微分方程获得某一特定问题的解的附加条件，称为定界条件。对于非稳态导热问题，需要描件，称为定界条件。对于非稳态导热问题，需要描述初始时刻温度分布的初始条件，以及给出物体边界上温度或换热的边界条件。稳态导热问题仅有边界条件。导热问题的完整数学描述：导热微分方程+定解条件常见的边界条件有三类1.第一类边界条件:指定边界上的温度分布。0δxtw2tw11,0wttx==δ例：右图中2.第二类边界条件:给定边界上的热流密度。δ2,wttx==δ例：右图中0δxqwwqx=∂∂=xt-,λδ3.第三类边界条件:给定边界面与流体间的换热系数和流体的温度，也称为对流换热边界。hqwtf傅里叶定律：牛顿冷却定律：)(fwwtthq−=0δx傅里叶定律：)(fwxtthxt−=∂∂−=δλ)/(ntqw∂∂−=λ例：右图中,δ=x2013/12/123一维稳态导热稳态导热稳态导热0=∂∂τt通过平壁的导热,直角坐标系中的一维问题。通过圆筒壁的导热,圆柱坐标系中的一维问题。通过球壳的导热,球坐标系中的一维问题。温度不随时间而变化。通过球壳的导热,球坐标系中的一维问题。一、通过平壁的导热平壁的长度和宽度都远大于其厚度，且平板两侧保持均匀边界条件，则该问题就可以归纳为直角坐标系中的一维导热问题。δ0δx本章只讨论稳态的情况，平壁两侧的边界条件有给定温度、给定热流及对流边界等情况，此外还有平壁材料的导热系数是否是常数，是否有内热源存在等区分。下面分别介绍。1.无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界数学描述:0dd22=xt1,0ttttx==δt2t1对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解211ddcxctcxt+=⇒=2,ttx==δ0δx利用两个边界条件将两个积分常数代入原通解，可1,0ttx==t2t10δxt2,ttx==δ12tc=δ121ttc−=将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布如下xttttδ211−−=线性分布利用傅立叶导热定律可得通过平壁的热流量)(d2121AttttAdxtAΦλδδλλ−=−=−=δλλ21ddttxtq−=−=2W/mW)(Adxλδδ2.无内热源，λ为常数，一侧为第一类边界，另一侧为第二类或第三类边界2013/12/124t2t10δxth，tf或qw此时导热微分方程式不变，平壁内部的温度分布仍是线性的，只是t2未知。xttttδ211−−=壁面上的温度t未可由边界条件确定0δx壁面上的温度t2未可由边界条件确定（1）另一侧为第二类边界（2）另一侧为第三类边界λδ/21wttq−=λδ/)(21f2tttth−=−3.无内热源，变导热系数，两侧均为第一类边界0)dd(dd=xtxλ数学描述:1,0ttttx==δt2t1t）（bt+=10λλλ0、b为常数2,ttx==δ0δx若导热系数随温度线性变化0dd)1(dd0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+xtbtxλ10dd)1(cxtbt=+λ则导热微分方程变为对x积分一次得对x再次积分得微分方程的通解2120)2(cxctbt+=+λ对x再次积分得微分方程的通解利用边界条件最后得温度分布为xttbtttbttbt⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−−+=+)(21)2(221212112δ物线线形式其抛物线的凹向取决于系数b的正负。当b0，λ=λ0(1+bt)，随着t增大，λ增大，即高温区的导热系数大于低温区。所以高温区的温度梯度dt/dx较小，而形成上凸的温度分布。当b0，情况相反。tdxtAΦdλ−=t2t10δxb0b0热流密度计算式为:()δλ2112021ttttbq−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=或)(21ttqm−=δλt2t10δxtδ式中()()[]()mmbtttb+=++=+=1212021021λλλλλ从中不难看出，λm为平壁两表面温度下的导热系数值的算术平均值，亦为平壁两表面温度算术平均值下的导热系数值。δ4.有均匀内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界0xt2t1Φ数学描述:0/dd22=+λΦxt1,0ttttx==δ0δx2,ttx==δ对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解2122CxCxΦt++−=λ2013/12/1250δxt2t1Φ利用两个边界条件1,0ttx==2,ttx==δ12tc=δδ/)(121Φttc+−=)(2211xxΦxtttt−+−−=δλδ将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布如下δλδ2/)(121ttc+二、通过圆筒壁的导热圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的温度时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维导热问题。rr2r1r1rr21、通过单层圆筒壁的导热(无内热源，λ为常数，两侧均为第一类边界)数学描述:0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛drdtrdrd11,ttrr==t1r12211,,ttrr==积分上面的微分方程两次得到其通解为:21cnrct+=At2rr2利用两个边界条件将两个积分常数代入原通解，可2211,,ttrrttrr====)/ln(12121rrttc−=)/ln(ln1212112rrttrtc−−=将两个积分常数代入原通解，可得圆筒壁内的温度分布如下)/ln()/ln(112121rrrrtttt−+=温度分布是一条对数曲线t1r1t2rr2[]Wln211)ln(2dd2112211221λπλπλλRttrrlttrrrttrlrtAΦ−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=−=通过圆筒壁的热流量1)/ln(2112rrlRπλλ=式中为通过圆筒壁导热的热阻2.通过含内热源实心圆柱体的导热rtrΦrtrrr===+⎟⎠⎞⎜⎝⎛;0dd,0;0dddd1λrtw数学描述:r==,积分上面的微分方程两次有2124cnrcrΦt++=Aλ2013/12/126由傅里叶定律可得出壁面处的热流量：进一步利用两个边界得出圆柱体内的温度分为：()224rrΦttww−+=λt1Φlrw2π=Φrt1rw由能量守恒法则，可直接得到上式。3.通过多层圆筒壁的导热采用热阻的概念进行分析。在稳态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等。433221tttttt−−−343432323212121212121rrnlttrrnlttrrnlttΦAAAπλπλπλ===三、通过球壳的导热内、外半径分别为r1、r2，球壳材料的导热系数为常数，无内热源，球壳内、外侧壁面分别维持均匀恒定的温度t1、t2。数学描述:数学描述:0dddd2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛rtrr2211,,ttrrttrr====温度分布:()2212w1w2w1111rrrrtttt−−−+=热流量:()()212w1w114rrtt−−=Φπλ四、其它变截面的导热对于其它一些变截面形状的一维稳态、且无内热源的导热问题，若知道截面的变化规律，可以采用导热基本定律直接求得到热量的计算公式。x0l热量的计算公式。xtxAqAΦdd)(λ−==∫∫=21dd)(10ttltxxAΦλ0xxAtΦlttd)(1d021∫∫=λ例：x0l各截面平均温度变化的定性分析：x0lt1t2