2019年中考分析：自贡市近5年中考数学压轴题考点分析及解答

2019中考专题复习和训练：压轴题考点分析及解答自贡市近5年中考数学压轴题考点分析及解答压轴题通常是指试卷的最后一道或者两道题目.由于压轴题是以选拔人才为目的，所以也是试卷相对于卷里其它题目有一点难度系数的，一般在理科特别是数学科比较容易出现.下面我编选了我市近5年的数学中考压轴题进行考点分析和解答，并附有点评，希望对同学们迎考有一定的帮助.另外在最后还选编了其它省市近几年的数学中考压轴题，供同学们练习.2018年中考25.（12分）如图，已知AOB60,在AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OAOB、相交于点DE、.⑴.当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OEOD与OC的数量关系，并说明理由；⑵.当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，⑴中的结论是否成立？并说明理由；⑶.当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段ODOE、与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.考点：旋转的特征、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等、线段的和差.分析：本题的⑾问根据直角三角形的性质和勾股定理可以计算出、OEOD与OC的关系，从而得出OEOD与OC的关系；本题的⑵问可以过点C向AOB的两边作垂线段，从而可以把问题转化为问题⑴的方式，然后利用线段的和差关系进行转换.本题的⑶问也可以过点C向AOB的两边作垂线段，从而可以把问题转化为问题⑴的方式，然后利用线段的和差关系进行转换，使问题得以解决，本题是一道高质量的中考题.略解：⑴.ODOE3OC.理由如下：1分DEAOBMC图2AOBMC图3DEAOBMC图12019中考专题复习和训练：压轴题考点分析及解答∵AOB60,且OM平分AOB.∴1112AOB603022∵DCE绕点C旋转到CD与OA垂直∴ODCOEC90∴11DCOC,ECOC22在Rt⊿ODC中根据勾股定理有：222ODCDOC,2221ODOCOC2.解得：3ODOC2;同理可得：3OEOC2（也可用三角函数解答！）∴33ODOEOCOC3OC22.即ODOE3OC.···········4分⑵.⑴中的结论仍然成立.理由如下：····························5分过点C向AOB的两边作CGOA,CHOB，垂足分别为、GH.∴OGCOHC90参照⑴的方法同理可证：OGOH3OC.根据旋转的特征可以得到:DCEGCH,即4DCH3DCH∴34∵OM平分AOB,CGOA,CHOB∴CGCH∴⊿CGD≌⊿CHE∴DGEH∴OGOHODDGOEEHODOE∵OGOH3OC∴ODOE3OC······································8分⑶.⑴中的结论不成立.猜想：线段ODOE、与OC之间的数量关系是OEOD3OC.··········9分理由如下：过点C向AOB的两边作CPOA,CQOB，垂足分别为、GH.射线CD交OA反向延长射线于D.∴OGCOHC90参照⑴的方法同理可证：OPOQ3OC.图22019中考专题复习和训练：压轴题考点分析及解答根据旋转的特征可以得到:DCEGCH,即PCD5QCE5∴PCDQCE∵OM平分AOB,CPOA,CQOB∴CPCQ∴⊿CPD≌⊿CQE∴PDQB∴OPOQPDODOEQEOEOD（OEOD）∵OPOQ3OC∴OEOD3OC·····················12分故线段ODOE、与OC之间的数量关系是OEOD3OC.点评：本题的三个图形首先要旋转过程中旋转角度不变，其次注意两点：其一.过点C向两边作垂线段后，都存在一对全等的直角三角形；其二.要注意利用线段和差进行式子的转换.26.（14分）如图，抛物线2yaxbx3过,,A10B30、，直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为2，点Pm,n是线段AD上的动点.⑴.求直线AD及抛物线的解析式；⑵.过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？⑶.在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R,使得PQDR、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由.考点：待定系数法求函数解析式、函数的图象及其性质、二次函数求最值得问题、平行四边的判定、整点问题、分类讨论思想等.分析：本题的⑾问先由抛物线2yaxbx3过,,A10B30、利用待定系数法可以求出抛物线的解析式，利用抛物线可以求出点D的的纵坐标，再求出直线AD的解析式.本题的⑵问是一个二次函数最值应用问题，关键是用纵坐标之差的绝对值表示出线段的长度，同时要注意分类讨论思想的应用..本题的⑶问要先假设存在，由于点D是个定点，同时是个整点，根据两个函数解析式的特征，所以点、PQ也应为整点才能确保点R才可能为整点，所以本题应确定P的坐标变化范围，从中找出、PQ整点坐标，然后进行分类讨论其存在的可能性.略解：⑴.∵抛物线2yaxbx3过,,A10B30、∴ab309a3b30解得:a1b2所以2yx2x3···············2分∵点D的横坐标为25DPQEAOBMC图32019中考专题复习和训练：压轴题考点分析及解答∴当x2时，2y22234433∴D2,3设直线AD的解析式为ykxb∵、A1,0D2,3∴kb02kb3解得k1b1所以yx1·····················4分⑵.∵点Pm,n，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q.∴点P和点Q的横坐标相等.·································5分当xm时代入yx1得：ym1；则点Pm,m1.当xm时代入2yx2x3得：2ym2m3.则点2Qm,m2m3.∴2PQm1m2m3即2lm1m2m3①.当2m1m2m3时，2lm1m2m3；整理2lmm2∵a10∴当11m212时，l有最大值；即此时线段PQ最长.②.当2m1m2m3时，2lm2m3m1；整理2lmm2∵a10∴l此时有最小值；不合本问题意，舍去.（根据题中条件，本情况可不讨论）综上所述：当1m2时，线段PQ最长.·························10分⑶.在平面内存在整点（横、纵坐标都为整数）R,使得PQDR、、、为顶点的四边形是平行四边形.整点R坐标分别为：、、、2,12,50,32,1.···········14分因为Pm,n是线段AD上的动点，计算出、A1,0D2,3，从而确定点P横纵坐标的变化范围进行整点坐标的分类讨论（根据解析式和点D的坐标，点、PQ也应为整点）.①.当1P1,2时，1Q1,4；以、、11PDQ作为定点，能使点R与它们构成平行四边（分别以PQ为边和对角线讨论）的R整点坐标情况有：、、123R2,1R2,5R0,3（见分析示意图①）.②.当2P0,1时，1Q0,3；以、、22PDQ作为定点，能使点R与它们构成平行四边（分别以PQ为边和对角线讨论）的R整点坐标情况有：、、456R2,1R2,5R2,1（见分析示意图②）.2019中考专题复习和训练：压轴题考点分析及解答注：当P点与、AD重合时，点Q点也同时会相应的与、AD重合时，该四边形不存在.综上所述，满足条件的整点R的坐标有、、、2,12,50,32,1.点评：本题主要⑴问求出点的坐标后，用待定系数法可以求出两个函数的解析式，比较简单！在函数的相关题型中，求“最值”问题，常通过建立二次函数的模型来解；本题⑵问就是抓住长度等于、PQ纵坐标之差的绝对值建立二次函数来解决，注意讨论.本题以PQDR、、、为顶点的四边形顶点有3个动点，是本问的难点所在，结合解析式和其中一个顶点是定点且为整点，把动点中的、PQ也视为“定点”，在此基础上讨论就比较容易破题了.2017年中考25.（12分）如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点,A10,点,B03.⑴.求BAO的度数；⑵.如图1，将⊿AOB绕点O顺时针得⊿''AOB，当'A恰好落在AB边上时，设⊿'ABO的面积为1S,⊿'BAO的面积为2S,1S与2S有何关系？为什么？⑶.若将⊿AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，1S与2S的关系发生变化了吗？证明你的判断.xyB'A'BAO图2xyB'A'BAO图1xyCQDBAOP原图xyBAR3R2R1Q1P1DO图①xyR5R4R6Q2P2BADO图②2019中考专题复习和训练：压轴题考点分析及解答考点：点的坐标的意义和相关联性的规律、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的面积及其相关结论等.分析：本题的⑴问求BAO的度数化归在Rt△AOB来解决，根据点,A10,点,B03容易求出OAOB、的长度，利用三角函数的定义计算出三角函数值，从而求出该角的度数.本题的⑵问抓住⊿'ABO和⊿'BAO的边'OAOA、是同一三角形⊿'AAO的边;根据旋转的特征可以推出'OAOA,结合⑴问容易推出三角形⊿'AAO是等边三角形，等边三角形不但三边相等，而且三边上的高也是相等的，我们利用“等底等高的三角形”的结论容易判断出12SS.本题的⑶问也抓住根据旋转的特征可以推出⊿'ABO和⊿'BAO的边'OAOA；其实我们只需找到'OAOA、边上高相等；而'OAOA、边上的高可以化在两个三角形中，通过全等三角形可以证得其高相等，再利用“等底等高的三角形”的结论容易判断出12SS.（本问也可以用相似形的相关知识使问题获得解决.）略解：⑴.∵点,A10,点,B03∴,OA1OB3又∵AOB90∴OB3tanBAO3OA1·························2分∴BAO60··································3分⑵.12SS.···································4分理由如下：根据旋转的征可知：'OAOA.又BAO60∴⊿'AAO是等边三角形∴''AOABAO60∴AD∥x轴∴点''AB、到x轴的距离相等（图中12hh）∵等边⊿'AAO的三条高都相等（图中23hh）∴点O到AB的距离等于点'B到x轴的距离（图中13hh）∴12SS（等底等高的三角形面积相等）···········7分⑶.1S与2S的关系没变,即12SS.··············8分理由如下：过点B作'BCOA于C,过点'B作'BDx于D.∴'BCOBDO901h2h3h2019中考专题复习和训练：压轴题考点分析及解答根据题意可知：''BODAOB90根据旋转的征可知：','AABOBOOO∴132390∴12∴⊿BCO≌⊿'BDO（AAS）∴'BCBD又∵'OAOA∴12SS（等底等高的三角形面积相等）········12分点评：本题的⑴问通过计算三角函数值来求角度是一种比较常见的