构造辅助函数证明微分中值定理及应用

构造辅助函数证明微分中值定理及应用摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理ConstructingauxiliaryfunctiontoprovedifferentialmediantheoremanditscopplicationsAbstract:Constructingauxiliaryfunctionistheimportantmethodtoprovemediantheorem.Thispapergivesseveralwaysofconstructingauxiliaryfunction:Differentialequation,ConstantK,Geometrylaw,Primaryfunctionlaw,Determinantlaw;andGivessomespecificexamplestoillustratehowtoconstructing.Keywords:Auxiliaryfunction;Differentialequation;Differentialmediantheorem目录一：引言………………………………………………………………...第4页二：数学分析中三个中值定理........................................第4页三：五种方法构造辅助函数………………………………………………………第6页1：几何直观法…………………………………………………………………第6页2：行列式法…………………………………………………………………….第7页3：原函数法……………………………………………………………………第8页4：微分方程法…………………………………………………………………第10页5：常数k值法…………………………………………………………………第13页四：结论……………………………………………………………………………第15页参考文献……………………………………………………………………………第15页致谢…………………………………………………………………………………第16页一:引言微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础，这部分内容理论性强，抽象程度高，所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题。我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题。在证明中值命题时，首先要构造辅助函数，尤其是证明诸如：“至少存在一点，使得其代数式成立”这样结论的题目，证明中，如果辅助函数构造得当，题目很容易证明，反之题目将很难解决。所以构造恰当的辅助函数是证明中值命题的关键，人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数k值法，原函数法，行列式法，微分方程法等。根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.下面我们以不同的方法通过分析解决问题的途径。二:数学分析中三个中值定理定理1[13]（Rolle中值定理）设函数)(xf满足条件⑴在闭区间[ba,]上连续，⑵在开区间（ba,）内可微，⑶)()(bfaf，则至少存在一点(ba,)，使得.0)(ξf我们先从几何角度分析定理的含意：条件(3)说明弦AB平行于x轴；条件⑴、⑶表明曲线)(xfy是平面上一条以两个同高度的点))(,(afaA、))(,(bfbB为端点的连续曲线，⑵是说曲线在),(ba内处处有不平行于y轴的切线；结论是说在开区间),(ba内部必至少有一点，使得曲线)(xfy在该点的切线平行于x轴，从而平行于弦AB.一句话，平面上一条以两个同高度的点为端点的连续曲线处处有不平行于y轴的切线时，其线内至少有一点，其切线平行于x轴。定理2（Lagrange中值定理）设函数)(xf满足条件⑴在闭区间[ba,]上连续；⑵在开区间（ba,）内可微，则至少存在一点(ba,），使得.①我们也先从几何上看Lagrange定理的意义：①式右端是弦AB的斜率。定理是说，若平面上一条以))(,(afaA、))(,(bfbB为端点的连续曲线)(xfy在),(ba内处处有不平行于y轴的切线，则在开区间),(ba内部必至少有一点，使得曲线)(xfy在该点的切线平abafbff)()()(行于弦AB，即平行于两个端点))(,(afa与))(,(bfb的连线（图3-2）)()()()(bfaxabafbfy.一句话，平面上以A、B为端点的连续曲线弧处处有不平行于y轴的切线时，其线内至少有一点,其切线平行于弦AB。如果在Lagrange中值定理中增加函数在两端点值相等的条件则结论正是Rolle中值定理的结论。可见，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特例，这又是一个先处理特殊后处理一般情形的例子。因而定理2证明的思路就是将Lagrange中值定理转化到Rolle中值定理上去以获得证明，定理3（Cauchy中值定理）设函数)(xf、)(xg满足条件⑴在闭区间[ba,]上连续，⑵在开区间（ba,）内可微，⑶0)(xg，),(bax，则至少存在一点(ba,)，使得)()(gf)()()()(agbgafbf.Cauchy中值定理的几何意义在理解为参数方程是与Lagrange中值定理相同。如果取函数)(xg=x，Cauchy中值定理就变成Lagrange中值定理了，所以Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特殊情况（要求)()(bfaf）；Lagrange中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理。三：五种方法构造辅助函数1：几何直观法[56]此法是通过几何图形考察两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立恰当的辅助函数拉格朗日定理：设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，则存在(,)ab，使等式()()()()fbfafba成立。分析：该命题条件不满足罗尔定理条件中的()()fafb.但从左图可见11()()(),xfxyx满足罗尔定理条件。其中1()yx为直线AB的方程且1()()()()(),fafbyxfaxaba从而可作辅助函数11()()()xfxyx证明本题.证明：如图直线AB方程为1()()()()()fbfayxfaxaba,作辅助函数1()()()()[()()],fbfaxfxfaxaba容易验证1()x适合罗尔定理条件，111()(),()bax在[,]ab连续，在(,)ab可导，且1()()()().fbfaxfxba由罗尔定理知至少存在一点(,)ab使()0,即()()()fbfafba，亦即()()()()fbfafba.一般来说，凡)(xf与x的线性式，只要在端点处取值相同，都可取作辅助函数.如下列函数：)()()()()(3axabafbfxfx,)]()()[())](()([)(4afbfaxabafxfx,)]()([))(()(5afbfxabxfx,都可取作辅助函数。这些函数在],[ba上都满足罗尔定理的条件，从而可证明拉格朗日定理。2：行列式法：经分析认识到罗尔定理是中值定理的特殊情况（区间端点处的函数值相等）。而拉格朗日中值定理又是柯西中值定理当函数()gxx时的特殊情况。在进一步引导下，会想到三个定理间既然有着内在的联系能否用一个统一的形式加以刻画，从而引出下面的行列式定理。定理：设函数(),(),()fxhxgx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导则至少存在一点(,)ab使得()()()()()()0()()()fagahafbgbhbfgh成立。在上述定理中，当()1hx时，便是柯西中值定理。当()1hx,且()gxx时，便是拉格朗日中值定理，当()()1hxgx时，便是罗尔定理。例一：设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，试证存在,ab（）使222[()()]()()fbfabaf.分析：结论移项为222[()()]()()0fbfabaf,即222202()()1()1()()11()ffaafafafbbbfb10-21,将上述行列式中换为x，并求出原函数()Fx2221()()1()1()xfxFxafabfb,即为要找的辅助函数。证明：作辅助函数2221()()1()1()xfxFxafabfb,易验证()()0,FaFb又()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导且22()2()()()()Fxxfbfafxba，由罗尔定理知，至少存在（a,b）使()0F，即222[()()]()()0,fbfafba亦即222[()()]()()fbfafba.3：原函数法（１）原函数法的思想:①将要证的结论中的换为.x②通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式,③用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为0,④移项使等式一边为0，另一边即为所求辅助函数()Fx.（2）拉氏中值定理证明中辅助函数的构造：在拉氏中值定理的结论()()()fbfafba，中令：x，则有()()().fbfafxba两边积分得()()()fbfaxfxcba，取0,c,得()()()fbfaxfxba，移项得()()()0fbfafxxba，故()()()()fbfaFxfxxba，为所求辅助函数.(3)柯西中值定理证明中辅助函数的构造.在柯西中值定理的结论中令x,得()()()()()()fbfafxgbgagx．若两边同时积分，右端去不含导数符号，为此将上式变形为()()()()()()fbfagxfxgbga，积分得()()()()()()fbfagxfxcgbga，取0,c并移项得()()()()0,()()fbfafxgxgbga故()()()()()()()fbfaFxfxgxgbga．为所求辅助函数.在利用中值定理证明相关命题时，我们也可根据上面的思路来构造辅助函数，既先把命题结论转化为[]0,x的形式，据此构造出适当的辅助函数().Fx使其符合罗尔定理条件，然后利用罗尔定理给出证明，这就是原函数法，但构造()Fx有时尚需一定的技巧.例一：设()fx在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)(1)0ff试证：在开区间(0,1)内至少存在一点使()()0.ff分析：原结论即[()]0xxfx,因此可直接设()().Fxxfx显然()Fx在［0,1］上满足罗尔定理，由罗尔定理，在(0,1)内至少存在一点，使()()()0.Fff例二：设()fx在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(1)0,f试证：在开区间(0,1)内至少存在一点使()()(0).kffk分析：原结论变形为()()0,fkf若设()()().Fxxfxkfx难以构造()Fx，考虑乘法求导法则()uvuvuv,及导数公式1(),kkxkx将原结论两端同乘以k。整理得1()()0,kkfkf即[()]0.kxxfx设()(),kFxxfx由题设，不难证明结论.4：微分方程法[4]证明的关键在于如何构造辅助函数，若采