2013新课标Ⅰ卷高考数学文科试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1．已知集合{1,2,3,4}A，2{|,}BxxnnA,则AB（）（A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1}（D）｛-1，,0，1}2．212(1)ii（）（A）112i（B）112i（C）112i（D）112i3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）12（B）13（C）14（D）164．已知双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的离心率为52，则C的渐近线方程为（）（A）14yx（B）13yx（C）12yx（D）yx5．已知命题:pxR，23xx；命题:qxR，321xx，则下列命题中为真命题的是：（）（A）pq（B）pq（C）pq（D）pq6．设首项为1，公比为23的等比数列{}na的前n项和为nS，则（）（A）21nnSa（B）32nnSa（C）43nnSa（D）32nnSa7．执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t，则输出的S属于（A）[3,4]（B）[5,2]（C）[4,3]（D）[2,5]8．O为坐标原点，F为抛物线2:42Cyx的焦点，P为C上一点，若||42PF，则POF的面积为（）（A）2（B）22（C）23（D）49．函数()(1cos)sinfxxx在[,]的图像大致为（）10．已知锐角ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，223coscos20AA，7a，6c，则b（）（A）10（B）9（C）8（D）511．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）（A）168（B）88（C）1616（D）81612．已知函数22,0,()ln(1),0xxxfxxx，若|()|fxax，则a的取值范围是（）（A）(,0]（B）(,1](C)[2,1](D)[2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13．已知两个单位向量a，b的夹角为60，(1)ctatb，若0bc，则t_____。14．设,xy满足约束条件13,10xxy，则2zxy的最大值为______。15．已知H是球O的直径AB上一点，:1:2AHHB，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_______。16．设当x时，函数()sin2cosfxxx取得最大值，则cos______.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知等差数列{}na的前n项和nS满足30S，55S。（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）求数列21211{}nnaa的前n项和。18（本小题满分共12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h），试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（3）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC中，CACB，1ABAA，160BAA。（Ⅰ）证明：1ABAC；（Ⅱ）若2ABCB，16AC，求三棱柱111ABCABC的体积。C1B1AA1BC20．（本小题满分共12分）已知函数2()()4xfxeaxbxx，曲线()yfx在点(0,(0))f处切线方程为44yx。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）讨论()fx的单调性，并求()fx的极大值。21．(本小题满分12分)已知圆22:(1)1Mxy，圆22:(1)9Nxy，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长是，求||AB。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D。（Ⅰ）证明：DBDC；（Ⅱ）设圆的半径为1，3BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径。23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为45cos,55sinxtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin。（Ⅰ）把1C的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C与2C交点的极坐标（0,02）。24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|21||2|fxxxa，()3gxx。（Ⅰ）当2a时，求不等式()()fxgx的解集；（Ⅱ）设1a，且当1[,)22ax时，()()fxgx，求a的取值范围。参考答案一、选择题1．A【命题意图】本题主要考查集合的运算，是容易题.【解析】B={1,4,9,16}，故AB={1,4}，故选A.2．B【命题意图】本题主要考查复数的运算，是容易题.【解析】212(1)ii=122ii=112i，故选B.3．B【命题意图】本题主要考查古典概型的计算，是容易题.【解析】从1,2,3，4中任取两个有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6种不同取法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的由{1,3}，{2,4}2种，故其概率为26=13，故选B.4．C【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，52ca，即54=22ca=222aba，∴22ba=14，∴ba=12，∴C的渐近线方程为12yx，故选C.5．B【命题意图】本题主要考查特称命题、全称命题真假的判定及复合命题真假判断，是容易题.【解析】由题意知p为假命题，q为真命题，∴p数真命题，∴pq为真命题，故选B.6．D【命题意图】本题主要考查等比数列前n项和公式，是容易题.【解析】nS=213213na=32na,故选D.7．A【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当[1,1)t时，3st[3,3)，当[1,3]t时，24stt[3,4]，∴输出s属于[-3,4]，故选A.8．C【命题意图】本题主要考查抛物线的定义，是容易题.【解析】由抛物线焦半径公式得42|=PF|=2Px，∴Px=32，||Py=26，∴△POF的面积为1||||2POFy=12262=23，故选C.9．C【命题意图】本题主要考查三角函数函数的图像与性质及利用导数研究初等函数的图像与性质，是中档题.【解析】显然()fx是奇函数，故排除B,当0x时，()fx＜0，故排除A，∵()fx=22sincoscosxxx=22coscos1xx，由()fx≥0解得1cos2x，又∵x，∴3344x，同理，由()fx≤0解得，34x或34x，∴()fx在[－,－34]上是减函数，在[－34，34]上是增函数，在[34,]上是减函数，∴当x=34时，()fx取最小值3()4f=122，最小值点靠近－，故选C.10．D【命题意图】本题主要考查二倍角公式、正余弦定理，是中档题.【解析】由223coscos20AA及△ABC是锐角三角形得cosA=15，∵a=7，6c，∴222176265bb，即2512650bb，解得5b或b=135（舍），故选D.11．A【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222=168，故选A.12．D【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。【解析】∵|()fx|=22,0ln(1),0xxxxx，∴由|()fx|≥ax得，202xxxax且0ln(1)xxax，由202xxxax可得2ax，则a≥-2，排除Ａ，Ｂ，当a=1时，易证ln(1)xx对0x恒成立，故a=1不适合，排除C，故选D.二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13．2【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.【解析】bc=[(1)]ttbab=2(1)ttabb=112tt=112t=0，解得t=2.14．3【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是容易题.【解析】作出可行域如图中阴影部分所示作出直线l：20xy，平移直线l，由题知当直线l过A点时2zxy取最大值，由30xxy解得A（3,3），∴maxz=233=3.15．92【命题意图】本题主要考查球的截面性质及球的表面积公式，是容易题.【解析】由:AHHB=1:2及AB是球的直径知，AH=23R，BH=43R，∴OH=3R，由截面圆面积为得截面圆半径为1，∴221()13RR，∴2R=98，∴球O的表面积为24R=92.16．255【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.【解析】∵()fx=sin2cosxx=5255(sincos)55xx令cos=55，25sin5，则()fx=5(sincossincos)xx=5sin()x，当x=2,2kkz，即x=2,2kkz时，()fx取最大值，此时=2,2kkz，∴cos=cos(2)2k=sin=255.三.解答题17．【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式及列项求和法，考查方程思想，是容易题.（1）设｛an｝的公差为d，则Sn=1(1)2nnnad。由已知可得111330,1,1.5105,adadad解得n=2-.naan故的通项公式为（2）由（I）知212111111(),(32)(12)22321nnaannnn从而数列21211nnnaa的前项和为1111111-+-++)2-1113232112nnnn（.18．（本小题满分共12分）【命题意图】本题主要考查利用样本平均值对总体作出估计、茎叶图的制作及利用茎叶图进行统计分析，考查数据处理能力、应用数学知识分析解决问题能力和应用意识,是简单题.【解析】（Ⅰ）A组平均值为120(0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.