一、多元正态分布定义和性质

第一章多元正态分布随机向量的有关概念多元正态分布定义多元正态分布的性质多元正态分布的参数估计第一节随机向量的有关概念随机向量及随机向量的数学期望（均值）随机向量的协方差矩阵随机向量的相关矩阵随机向量定义：设为个随机变量，由它们组成的向量称作随机向量。p21X,...,X,Xp)'X,...,X,(Xp211.随机向量的数学期望。数学期望（均值）的维随机向量，则为设)()()()(2121ppxExExEXEXpxxxX1.1.1定义随机矩阵的数学期望111212122212qqpppqzzzzzzZpqzzz设为阶随机矩阵，1.1.2定义()ZEZ则的数学期望（均值）为111212122212()()()()()()()()()()qqpppqEzEzEzEzEzEzEZEzEzEz随机向量期望的性质1.1.1Xp性质（线性性）设为维随机向量，BAqpq为阶常数矩阵，为阶常数向量，则()()BEAXBAEX。随机向量期望的性质()()EAXBAEXB1.1.2()()()XYpEXYEXEY性质（可加性）设、为维随机向量，则。1.1.3,?     ,XpqAmpBqn性质设是阶随机矩阵为阶常数矩阵，为阶常数矩阵则有2．随机向量的协方差矩阵1212(,,,)(,,,)pqXxxxYyyy设和均为随1.1.3定义(,)(())(())COVXYEXEXYEY111111221122112222221122()()()()()()()()()()()()()()()()()()qqqqppppppqqxyxyxyxyxyxyExyxyxy1212()(,,,)()(,,,)pqEXEYXY机向量，和则和的协方差矩阵为))())((())())((())())((())())(((11111111qqppppqqyEyxExEyEyxExEyEyxExEyEyxExE1111(,)(,)(,)(,)qppqCovxyCovxyCovxyCovxy))())(((),(XEXXEXEXXCOV))())((())())((())())((())())(((11111111ppppppppxExxExExExxExExExxExExExxExE)(),(),()(111pppxDxxCOVxxCOVxDppij)(协方差矩阵的性质CYXCOVAdCYbAXCOVsrdbCAqpYXqspr),(),(1.1.4则阶常数向量，和分别为、为常数矩阵，、维随机向量，维和分别为、设性质协方差矩阵的性质（续）aaXaDpaaaaXCOVpXp)()X,(1.1.521维常数向量，则是为正定矩阵，若可逆时，，且当为对称且是半正定矩阵则，维随机向量，为设性质3.随机向量的相关矩阵4.1.1定义的相关矩阵。为维随机向量，则称为设XpXpppp11121221112。的相关系数，和为其中，jiijjiijxxjjiiijij相关矩阵与协方差矩阵的关系2121DD21212111ppD其中，第二节多元正态分布定义一元正态分布密度函数222)(21)(xexf一元正态分布密度函数图形)(xfOx5.012121图二元正态分布密度函数2222222211121211222121)(2)()1(21exp121),(xxxxxxf二元正态分布密度函数图形一元正态分布密度函数变形)())((21exp)()2(1221221xx222)(21)(xexf多元正态分布定义1的概率密度函数为维随机向量若Xp)()(21exp)2()(1212xxxfp。维多元正态分布，记为服从则称),(~pNXpXpxxx21Xp21ppij)(这里，1.2.1定义多元正态分布定义2定义1.2.2若维随机向量的任何线性组合均服从一元正态分布，则称服从多元正态分布。pXX二元正态分布的两种表示方法),,,,(~222121NX方法一：),(~2NX方法二：其中，2122212121思考题若表示男性成人的身高，表示男性成人的体重，现有甲、乙两地区，且两地区均有，，，对于甲地区来说，，对于乙地区来说，，你如何评价甲、乙两地区男性成人的体形。1x2xcm1701kg6529.09.0第三节多元正态分布的性质~b:,b)(~2xccNx为任一非零常数，那么，，假设),b(22ccN),b(~bbr),,(~CCCNCXCprNXrp均有维常数向量，以及常数矩阵阶那么，对于任一若1.3.1性质~:)(~XbpbNXp那么维常数向量，为，，假设),(bbbN1.3.1例多元正态分布的边缘分布的相应子矩阵。子向量，协方差矩阵为的相应值为也服从正态分布，其均的任一子向量则若XXXNXp),,(~1.3.2性质但反过来成立吗？。布，即：分量都服从一元正态分的任一，则特别地，若),(~),(~iiiipNxXNX一元正态分布的可加性均有：全为零的常数个不，则对任何相互独立，且，若,,,,),(~,,2,1212nrrrraaanNxnrxnrrrnrrrnrrraaNxa12211,~多元正态分布的可加性均有：阶常数矩阵个则对任何，相互独立，且，维随机向量若,,,,),(~,,2,121nrrprrAAApmnNXnrXpnrrrrnrrrmnrrrAAANXA111)(,~性质1.3.31211,,,(,),11,2,...,,11~(,)nprpnnrrrpirXXXNAIrnnAXXNnn独立同分布于，则。2.3.1例1111~(,)nnrrprpirAXIXNnn。nrrrrnrrrpnrrrAAANXA111)(,~。)1,(~11nNXInpnrrp设54321X,X,X,X,X是有均值向量和协方差矩阵的独立),(Np随机向量，试对这些随机向量的两个线性组合54321X51X51X51X51X51和54321XXXXX分别求分布。解：)51,(N~X51X51X51X51X51p54321)5,(N~XXXX-Xp54321思考题：独立与不相关之间的关系二元正态分布随机向量的两个分量之间的独立性与不相关性。02121xxxx独立和独立与不相关之间的关系（续）：性质4.3.1rr等价。即：独立性与不相关性，独立等价于则，，，，srpXXNXXX0,0),(~1221222112112121rsss等价。即：独立性与不相关性，独立等价于则，，，，srpXXNXXX0,0),(~1221222112112121如果正态随机向量的协方差阵是对角阵，则的各分量是相互独立的随机变量。pxxxX21X),(~221pNXXX，21，1X，2X，1，2是p维向量，1221，证明21XX与21XX相互独立。例题1.3.3：条件分布的条件分布：时，则给定，，，，：性质1222221121121210),(~5.3.1XxXNXXXp)),((12122121122122121xNrrr等价。即：独立性与不相关性，独立等价于则，，，，srpXXNXXX0,0),(~1221222112112121rsss：性质5.3.1例1.3.4:令),0(~3321NxxxX，其中111231323121312，求给定3x时，21xx的分布，以及给定3x时，1x和2x的协方差。)),((12122121122122121xNr解：)11,x(N~XXX213231312231312213323132321第四节多元正态分布的参数估计则常见的样本统计量有，其中的样本为来自于多元正态总体设piiiipnxxxXNXXX2121,0,),(,,,样本均值niiXnX11piiiixxxX21样本离差矩阵niiiXXXXV1))((样本协方差矩阵VnsSppij11)(niiiXXXXn1))((11样本相关矩阵其中：2121)(ssppijSDDrR21212111ppsssDjjiiijijsssr2121)(ssppijSDDrR一元正态总体参数估计的回顾的随机样本，则：是来自于正态总体设),(,,,221Nxxxn;)2(2相互独立和sx，),(~)3(2nNx)1(~)1(222nsn;)1(22的无偏估计和方差总体均值分别是和样本方差样本均值sx一元正态总体参数的极大似然估计的极大似然估计。和方差总体均值分别是和的随机样本，则：是来自于正态总体设2221),(,,,Nxxxnx2)1(snn的一个随机样本，则：总体是来自于多元正态设),(,,,21pnNXXX;)1(的无偏估计和总体协方差矩阵总体均值分别是和样本协方差矩阵样本均值SX;)2(相互独立和SX，)1,(~)3(nNXp),1(~)1(nWVSnp1.4.1定理的一个随机样本，则：总体是来自于多元正态设),(,,,21pnNXXX的极大似然估计。协方差矩阵和总体分别是总体均值和SnnX)1(2.4.1定理令1x表示舒张压，2x表示收缩压，假设某地区人的血压21xxX服从正态分布),(2N，现从该地区随机抽取5人，测得血压数据如下：被测量者12345舒张压1x120110114118116收缩压2x8070757772求和的无偏估计。例1.4.1:解：8.746.115X51X51ii7.154.134.138.14)XX)(XX(41S51iii