§15.2--以-2l-为周期的函数的展开式

一、以2l为周期的函数的傅里叶级数二、偶函数与奇函数的傅里叶级数§15.2以2l为周期的函数的展开式数学分析第十五章傅里叶级数*点击以上标题可直接前往对应内容上节讨论了以2为周期,或定义在上然后作2周期延拓的函数的傅里叶展开式,本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的傅里叶展开式,以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式.(]π,π数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数以2l为周期的函数的傅里叶级数后退前进目录退出设f是以2l为周期的函数,通过变量替换:π,πxlttxl或若f[,]ll在上可积,上也可积,就可以将f变换成以为周期的关于变量t的函数2π().πltFtfF在[π,π]则这时函数F的傅里叶级数展开式是:01()(cossin),(1)2nnnaFxanxbnx数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社其中(2)ππ1()cosd,1,2,πnaFtnttnπxtl，因为()().πltFtffx所以于是由(1)与(2)式分别得§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数ππ1()sindt,1,2,.πnbFtntn01()(cossin),(1)2nnnaFxanxbnx1π()cosd,0,1,2,lnlnxafxxnll，(4)01ππ()(cossin),(3)2nnnanxnxfxabll1π()sind,1,2,3,.lnlnxbfxxnll数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数这里(4)式是以2l为周期的函数f的傅里叶系数,(3)式是f的傅里叶级数.01()(cossin),(1)2nnnaFxanxbnx1π()cosd,0,1,2,lnlnxafxxnll，(4)01ππ()(cossin),(3)2nnnanxnxfxabll1π()sind,1,2,3,.lnlnxbfxxnll(0)(0)2fxfx01ππ(cossin).(5)2nnnanxnxabll若函数f在[,]ll上按段光滑,知道则同样可由收敛定理数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社里叶级数.05501π1π0cosd3cosd5555nnxnxaxx5035πsin0,1,2,,5π5nxnn例1将函数0,50,()3,05xfxx展开成傅里叶级数.(5,5],f由于在上解按段光滑§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数根据(4)式,有因此可以展开成傅数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社5035π3(1cosπ)cos5π5πnxnnn6,21,1,2,,(21)π0,2,21,2,.nkkknkk5051()d5afxx501π3sind55nnxbx§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数5013d3,5x数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社(5,0)(0,5).x这里0x当和±5时级数收敛于.32136(21)π()sin2(21)π5kkxfxk36π13π15πsinsinsin.2π53555xxx§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数代入(5)式,得数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社的偶函数,()cosfxnx是偶函数,()sinfxnx是奇函数.1π()cosdlnlnxafxxll设f是以2l为周期的偶函数,或是定义在上[,]ll偶函数与奇函数的傅里叶级数§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数因此,f的傅里叶系数(4)是[,]ll上,则在1π()sind0,1,2,.lnlnxbfxxnll(6)02π()cosd,0,1,2,,lnxfxxnll数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社于是偶函数f的傅里叶级数只含余弦函数的项,即01π()cos,(7)2nnanxfxal同理,若f是以2l为周期的奇函数,[,]ll上的奇函数,如(6)式所示.其中na其中§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数或是定义在(7)式右边的级数称为余弦级数.类似可得数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社所以当f是奇函数时,它的傅里叶级数只含有正弦函数的项,其中nb如(8)式所示.(9)式右边的级数称为正弦级数.01π()cosd0,0,1,2,,(8)2π()sind,1,2,.lnllnnxafxxnllnxbfxxnll§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数1()sin,(9)nnnxfxbl即数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社当且f为奇函数时,则它展成的正弦级数为1()sin,(12)nnfxbnx其中π02()sind,0,1,2,.(13)πnbfxnxxn当l时，则偶函数f所展开成的余弦函数为01()cos,(10)2nnafxanxπ02()cosd,0,1,2,.(11)πnafxnxxn其中§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社[π,π]上(如图15-8(a)或(b)).级数,即得(10)或(12)形式.图15-8(a)偶式延拓yOxππ定义在[0,]上的函数作偶式延拓或奇式延拓到[0,][0,]l注如何将定义在上(或更一般地上)的函数展开成余弦级数或正弦级数?然后求延拓后函数的傅里叶§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数首先将方法如下:数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社也可以不作延拓直接使用公式(11)或(13),的傅里叶系数,从而得到余弦级数或正弦级数.yOxππ(b)奇式延拓图15-8§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数计算出它数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社例2设函数()|sin|,ππ,fxxx求f的傅里叶级数展开式.解f是[π,π]上的偶函数,这函数及其周期延拓的图形.yOx2π159图ππ3π2π按段光滑函数,因此可以展开成傅里叶级数,而且这个级数为余弦级数.改为“=”)知道§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数图15-9是由于f是由(10)式(这时可把其中“~”01|sin|cos,2nnaxanx数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社01|sin|cos,2nnaxanx其中0024sind,ππaxxπ102sincosd0,πaxxxππ0022|sin|cosdsincosdππnaxnxxxnxxπ021[sin(1)sin(1)]dπ2nxnxx212[cos(1)π1](1)π1nnn20,3,5,,41,2,4,.π1nnn§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社212cos212.,π41mmxxm2121012.π41mm0x当时,有1111.21335(21)(21)mm由此可得21214|sin|cos2ππ41mxmxm所以§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社解函数f如图15-10所示,可以展开成正弦级数(12),π0022()sindsindππhnbfxnxxnxx1,0,1(),,20,πxhfxxhhx例3求定义在上的函数[0,π](其中0h)的正弦展开式.πyOxhπ115-10图§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数它是按段光滑函数,因而2(1cos).πnhn其系数02cosπhnxn数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社所以12(1cos)()sin,0,π.πnnhfxnxxhhxn0x当时,级数的和为0;12(1cos)101sin.π22nnhnhn§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数121(1)()sinπnnfxnxn411sinsin3sin5,0π,π35xxxx且当,时,级数收敛于0.0xπ若令πh,则有当时,有xh数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社()fxx(0,2)例4把在内展开成:(i)为了把f展开为正弦级数,对f做奇式周期延拓,§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数0,0,1,2,,nan202π4sindcosπ22πnnxbxxnn14(1),1,2,.πnnn解Oyx22662(i)正弦级数;并由奇函数系数公式(8)有数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社所以当(0,2)x时,由(9)及收敛定理得到114π()(1)sinπ2nnnxfxxn4π12π13πsinsinsin.(14)π22232xxx§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数0,2x但当时,右边级数收敛于0.(ii)展开为余弦级数.为了将f展开成余弦级数,对f做偶式延拓(图15-12).由公式(6)得f的傅里叶系数为数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社0,1,2,,nbn200d2,axx22202π4cosd(cosπ1)22πnnxaxxnn224[(1)1],1,2,,πnnn或212228,0(1,2,).(21)πkkaakk§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数1512图Oyx224662数学分析第十五章傅里叶级数高等教育出版社所以当(0,2)x时,由(7)及收敛定理得到2218(21)π()1cos(21)π2kkxfxxk2228π13π15π1coscoscos.(15)π23252xxx甚至作适当延拓后,可以用更一般的形式(5)来表示.上可以用正弦级数表示，也可以用余弦级数表示，§2以2l为周期的函数的展开式以2l为周期的函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数读者由例4可以看到，同样一个函数在同样的区间01π()cos,(7)2nnanxfxal