2014高考调研理科数学课本讲解_5-3_1 平面向量的综合应用_专题研究

课时作业新课标版·数学（理）高考调研专题研究平面向量的综合应用课时作业新课标版·数学（理）高考调研例1(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)AB→＋AC→＝(2,6)，|AB→＋AC→|＝22＋62＝210，|AB→－AC→|＝42.∴以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长为42，210.(2)AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)，OC→＝(－2，－1)，∵(AB→－tOC→)·OC→＝0，∴－2(3＋2t)－(5＋t)＝0，∴5t＝－11，∴t＝－115.课时作业新课标版·数学（理）高考调研【答案】(1)BC＝42，AD＝210(2)－115探究1用向量法解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，常通过平面向量基本定理、加、减法运算，向量坐标法进行转化，然后通过向量运算研究关系．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题1(1)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1，则AC→·AD→＝()A．23B.32C.33D.3课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】AC→·AD→＝(AB→＋BC→)·AD→＝AB→·AD→＋BC→·AD→＝BC→·AD→＝3BD→·AD→＝3|BD→||AD→|cos∠BDA＝3|AD|2＝3.【答案】D课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)(2012·湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→＝1，则BC＝()A.3B.7C．22D.25【解析】设角A，B，C的对边分别为a，b，c.AB→·BC→＝1，即accosB＝－1.在△ABC中，根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，及AB＝c＝2，AC＝b＝3，即a＝3.【答案】A课时作业新课标版·数学（理）高考调研例2已知O为坐标原点，向量OA→＝(sinα，1)，OB→＝(cosα，0)，OC→＝(－sinα，2)，点P满足AB→＝BP→.(1)记函数f(α)＝PB→·CA→，α∈(－π8，π2)，讨论函数f(α)的单调性，并求其值域；(2)若O，P，C三点共线，求|OA→＋OB→|的值．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)AB→＝(cosα－sinα，－1)，设OP→＝(x，y)，则BP→＝(x－cosα，y)．由AB→＝BP→得x＝2cosα－sinα，y＝－1，故OP→＝(2cosα－sinα，－1)．PB→＝(sinα－cosα，1)，CA→＝(2sinα，－1)．f(α)＝PB→·CA→＝(sinα－cosα，1)·(2sinα，－1)＝2sin2α－2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α)＝－2sin(2α＋π4)．又α∈(－π8，π2)，故02α＋π45π4.课时作业新课标版·数学（理）高考调研当02α＋π4≤π2，即－π8α≤π8时，f(α)单调递减；当π22α＋π45π4，即π8απ2时，f(α)单调递增．故函数f(α)的单调递增区间为(π8，π2)，单调递减区间为(－π8，π8]，因为sin(2α＋π4)∈(－22，1]，故函数f(α)的值域为[－2，1)．课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)OP→＝(2cosα－sinα，－1)，OC→＝(－sinα，2)，由O，P，C三点共线可得(－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，得tanα＝43，sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝2425.|OA→＋OB→|＝sinα＋cosα2＋1＝2＋sin2α＝745.探究2这类试题的难度一般不大，但解题时要细心，要正确利用向量的相关知识，特别是向量中的共线、垂直关系．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题2设a＝(1，cosα)，b＝(sinα＋cosα，－2)，若α∈(0，π2)，a·b＝15.(1)试求sin2α及sinα，cosα的值；(2)设f(x)＝5cos(2x－α)＋cos2x(x∈R)，试求f(x)的最大值及取得最大值时x的值．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)∵a·b＝sinα＋cosα－2cosα＝sinα－cosα＝15，①∴1－2sinαcosα＝125，∴sin2α＝2425.∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝4925.∵α∈(0，π2)，∴sinα＋cosα＝75.②∴sinα＝45，cosα＝35，sin2α＝2425.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)f(x)＝5cos(2x－α)＋cos2x＝5cos2xcosα＋5sin2xsinα＋cos2x＝3cos2x＋4sin2x＋cos2x＝4sin2x＋4cos2x＝42sin(2x＋π4)，∴f(x)max＝42.仅当2x＋π4＝π2＋2kπ，即x＝π8＋kπ，k∈Z.【答案】(1)sinα＝45，cosα＝35，sin2α＝2425(2)f(x)max＝42x＝π8＋kπ，k∈Z课时作业新课标版·数学（理）高考调研例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin2(π4＋B2)，－1)，m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若a＝3，b＝1，求c的值．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴(2sinB)·[2sin2(π4＋B2)]＋(2－cos2B)·(－1)＝0.∴2sinB·[1－cos(π2＋B)]＋cos2B－2＝0.∴2sinB＋2sin2B＋(1－2sin2B)－2＝0.∴sinB＝12.∵0Bπ，∴B＝π6或B＝5π6.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)∵a＝3b，∴B＝π6.方法一由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.∴c2－3c＋2＝0，∴c＝1或c＝2.课时作业新课标版·数学（理）高考调研方法二由正弦定理，得bsinB＝asinA.即112＝3sinA，∴sinA＝32.∵0Aπ，∴A＝π3或A＝2π3.若A＝π3，∵B＝π6，∴C＝π2，∴c＝2.若A＝2π3，则C＝π－2π3－π6＝π6，∴c＝b＝1.综上所述，c＝1或c＝2.课时作业新课标版·数学（理）高考调研【答案】(1)π6(2)c＝1或c＝2探究3本例的第(1)小题，利用向量垂直的充要条件将问题转化为三角方程，使问题获得解决．第(2)小题的方法一、方法二突出了余弦定理和正弦定理的应用．本例不仅考查了解三角形的技巧和方法，还注重了分类讨论思想的考查．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C＝2A，cosA＝34.(1)求cosC，cosB的值；(2)若BA→·BC→＝272，求边AC的长．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝2×(34)2－1＝18，∴sinC＝378，sinA＝74.∴cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC＝74×378－34×18＝916.课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)∵BA→·BC→＝272，∴accosB＝272，即ac＝24.①又asinA＝csinC，C＝2A，∴c＝2acosA＝32a.②由①②解得a＝4，c＝6.∴b2＝a2＋c2－2accosB＝16＋36－2×4×6×916＝25.∴b＝5，即边AC的长为5.【答案】(1)cosC＝18cosB＝916(2)5课时作业新课标版·数学（理）高考调研例4在▱ABCD中，A(1,1)，AB→＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若AD→＝(3,5)，求点C的坐标；(2)当|AB→|＝|AD→|时，求点P的轨迹．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)设点C的坐标为(x0，y0)，又AC→＝AD→＋AB→＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x0－1，y0－1)＝(9,5)，∴x0＝10，y0＝6，即点C(10,6)．课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)设P(x，y)，则BP→＝AP→－AB→＝(x－1，y－1)－(6,0)＝(x－7，y－1)，AC→＝AM→＋MC→＝12AB→＋3MP→＝12AB→＋3(AP→－12AB→)＝3AP→－AB→＝(3(x－1)，3(y－1))－(6,0)＝(3x－9,3y－3)．∵|AB→|＝|AD→|，∴▱ABCD为菱形，∴BP→⊥AC→.课时作业新课标版·数学（理）高考调研∴(x－7，y－1)·(3x－9,3y－3)＝0，即(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0.∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0(y≠1)．故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y＝1的两个交点．探究4向量与解析几何的综合题在近几年的高考中屡见不鲜，由于向量可以用坐标表示，于是借助于向量的有关运算技巧，可以破解解析几何中繁杂的运算问题．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题4平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α、β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】设C的坐标为(x，y)，则OC→＝(x，y)，OA→＝(3,1)，OB→＝(－1,3)．由OC→＝αOA→＋βOB→，得OC→＝(3α－β，α＋3β)．即x＝3α－β，①y＝α＋3β.②由①＋②×2得x＋2y＝5(α＋β)．又因为α＋β＝1，所以x＋2y＝5.【答案】x＋2y－5＝0课时作业新课标版·数学（理）高考调研课时作业（三十二）