立体几何几个难点问题的突破

1立体几何几个难点问题的突破华南师大附中周建锋立体几何是一门研究空间形式和数量关系的科学，我们有一些处理立体几何问题的常用方法，但是在一些方法的运用中，还存在着一些学生很难把握的难点，比如：用判定定理证明线面平行时如何选取平面内的那条直线？用判定定理证明面面垂直时，如何选取垂直于平面的那条直线？用向量法求二面角时，如何判定向量的夹角与二面角相等还是互补？等等．这些难点成为学生解决此类问题的瓶颈．作为教师来讲，如果能在这些方面做一些工作，帮助学生解决好这些问题，在教学效果上将起到事半功倍的作用．以下本人就立体几何中几个问题的探讨，和各位同行交流一下心得．一、立体几何中的“逆向思维”我们在用判定定理证明线面平行时有三个要素：两线一面．平面外一条直线，平面内一条直线，有时平面内那条直线没有给出，需要自己去选取．很多学生在选取这条直线时会很困难，我们不妨用逆向思维思考一下：要证//a，如果//a成立，由线面平行的性质定理，如果过直线a作一个平面，与平面交于直线b，则必有a∥b，直线b正是我们要找的直线，问题就得到解决．那如何恰当地过直线a作平面与平面相交呢？在人教A版必修2教材第二章中有一道思考题可以给我们启示，这道题是这样的：教室里有一条平行于地面的灯管，如何在地面上找一条直线，使得这条直线与灯管平行？有代表性的做法有两个：一是在灯管两端用细绳吊着物体（有点重量），与地面接触的两点连接起来，这条直线就是要找的直线；二是在天花板上固定一点，从这一点引出两条细绳，分别过灯管的两端，与地面接触的两点连接起来，这条直线也正是要找的直线．这两种做法实际上体现了两个确定平面的方法，两条平行线确定一个平面和直线外一点与直线确定一个平面．下面举例说明一下：例1如图1，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。证法一：如图2，分别过M作AB的平行线，交BC于点G，过N作AB的平行线，交BE于点H，连结GH．∴MGAB=MCAC,NHFE=NBFB.图1NMFEDCBAHG图2NMFEDCBA2由已知，AM=FN，而AC=FB，则MC=NB，因而MGAB=NHFE，∴MG=NH，∴四边形MNHG是平行四边形，∴MN∥GH．又∵MN平面BCE，GH平面BCE，∴MN∥平面BCE．证法二：如图3，连结AN，并延长AN，与BE的延长线交于点G，连结CG．∵AF∥BG，∴ANNG=FNNB.由已知易得MC=NB，∴FNNB=AMMC,∴ANNG=AMMC,∴MN∥CG.又∵MN平面BCE，CG平面BCE，∴MN∥平面BCE．除了线面平行外，在用判定定理证明面面垂直的时候，首先要找出垂直于其中一个平面的直线，而另一个平面过这条直线．如果这条直线没有在图中标出，就需要我们去把它找出来，这也是一个难点．这时也可以用逆向思维分析一下，我们有这样一个定理：如果两个平面都垂直于第三个平面，而这两个平面又相交，则交线必垂直于第三个平面．借用这个定理，如果再找出一个平面和其中的一个平面垂直，与另一个平面相交，那么交线正是需要的直线．例2如图4，正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，求证：平面AMC1⊥平面ACC1A1．分析：面面垂直判定定理中的那条直线在图中并不明显，但如果观察到取AC、A1C1中点D、D1，则平面BDD1B1⊥平面ACC1A1，那么平面BDD1B1与平面AMC1的交线MN必是垂直于平面ACC1A1的直线，找到了这条直线，剩下的证明就比较容易了．详细的证明在这里就不赘述了．二、平面法向量的“另类”算法在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)nxyz，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x,y,z的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有一种求法向量的办法也比较简便，先来看一个引理：图4NMD1DC1B1A1CBA_G_N_M_F_E_D_C_B_A图33若平面ABC与空间直角坐标系x轴、y轴、z轴的交点分别为A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)，定义三点分别在x轴、y轴、z轴上的坐标值xA=a,yB=b,zC=c（a,b,c均不为0），则平面ABC的法向量为111(,,)(0)nabc．参数的值可根据实际需要选取．证明：→AB=(-a,b,0),→AC=(-a,0,c),∴0,0nABnAC,∴111(,,)nabc是平面ABC的法向量．这种方法非常简便，但要注意几个问题：（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为，法向量对应于该轴的坐标为0．比如若和x轴平行（交点坐标值为），和y轴、z轴交点坐标值分别为b、c，则平面法向量为11(0,,)nbc；若平面和x,y轴平行，和z轴交点的坐标值为c，则平面法向量为1(0,0,)nc．（2）若平面过坐标原点O，则可适当平移平面．例3（07全国Ⅱ•理•19题）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD=2CD，求二面角A－EF－D的大小；zyxHDGFECBASABCDSEFCBAOzyx4（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz．设(00)(00)AaSb，，，，，，则(0)(00)BaaCa，，，，，，00222aabEaF，，，，，，02bEFa，，．取SD的中点002bG，，，则02bAGa，，．EFAGEFAGAG，∥，平面SADEF，平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设(100)A，，，则11(110)(010)[phone]BCSEF，，，，，，，，，，，，，，．平面AEFG与x轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、G(0,0,1)，与y轴无交点，则法向量1(1,0,1)n，在CD延长线上取点H，使DH=AE，则DH∥AE，所以AH∥ED，由（1）可知AG∥EF，所以平面AHG∥平面EFD，平面AHG与x轴、y轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、H(0,-12,0)、G(0,0,1)，则法向量2(1,2,1)n，设二面角A-EF-D的大小为，则12123cos3nnnn，即二面角A-EF-D的大小为3arccos3．三、用向量法求解二面角的两种途径（一）用法向量解二面角用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是[0,]，而两个向量的夹角取值范围也是[0,]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过2的那个角即可，但对二面角却是个难题.笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考.用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一），两个平面的法向量12,nn则应分别垂直于该平面角的两1n2n图一5边.易知，当12,nn同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为.所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可.或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为“向内”的方向；否则称为“向外”的方向.两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内”，而另一个“向外”.对第二个问题，我们需要选取一个参照物.在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy平面的关系，是自下而上穿过xOy平面呢，还是自上而下穿过xOy平面？若是第一种情形，则n与→OZ所夹的角是锐角，只需取法向量的z坐标为正即可；若是第二种情形，则n与→OZ所夹的角是钝角，只需取法向量的z坐标为负即可．若法向量与xOy平面平行，则可以选取其它如yOz平面、zOx平面观察．例4已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点.（1）求二面角CAMB的大小；（2）求二面角AMCB的大小.分析：如图建立空间直角坐标系，则对二面角CAMB而言，→AD是平面AMB的法向量（向内），易知平面ACM符合“向外”方向的法向量是自下而上穿过xOy平面，所以与→AZ所夹的角是锐角.对二面角AMCB而言，平面ACM选取上述法向量，则为“向外”的方向，平面BCM就应选取“向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy平面，与z轴正向所夹的角是钝角.（1）解：如图三，以AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则平面AMB的法向量为1n=(1,0,0),设平面ACM的法向量为2n=(x,y,z).xyzOn图二PADCBMxyz图三6由已知C（1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0)，则M(0,1,12),∴→AC=(1,1,0),→AM=(0,1,12).由220,0,10.0.2xynACyznAM取y=1，则x=1,z=2，∴2n=(1,1,2).（满足2n·→AZ0）.设二面角CAMB的大小为，则cos=121216nnnn,∴所求二面角的大小为arccos66.（2）解：选取（1）中平面ACM的法向量2n=(1,1,2)，设平面BCM的法向量为3n=(x,y,z).→BC=(1,1,0),→BM=(0,1,12),由330,0,10.0.2xynBCyznBM取z=-2，则y=-1,x=-1，3n=(-1,-1,-2)，则2n，3n所夹的角大小即为二面角A-MC-B的大小，设为，cos=232363nnnn，∴所求二面角的大小为-arccos63.（二）用半平面内的向量解二面角由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角．如果分别在两个半平面内作两个向量（如图四），起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹图四7的角，与二面角的大小是相等的．这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响．例5如图五，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是BB1的中点．（1）求二面角E-AC1-B的大小；（2）求二面角C1-AE-B的大小．分析：在第（1）题中，只需在AC1上找到两点G、H，使得→GB、→HE均与→AC1垂直，则→GB、→HE的夹角即为所求二面角的大小．如何确定G、H的位置呢？可设1GAAC，1GBGAABACAB，这样向量→GB就用参数表示出来了，再由→GB·→AC1=0求出的值，则向量→GB即可确定，同理可定出H点．第（2）题方法类似．解：以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),B1(0,0,2),C1(1,0,2),E(0,0,1)．→AC1=(1,-1,2),→AB=(0,-1,0).（1）设1(,,2)GAAC，则(,1,2),GBGAAB由→GB·→AC1=0+(+1)+4=0，解得：16，∴→GB=(151,,663).同理可得：→HE=(11,,022)，→HE·→AC1=0．→GB、→HE的夹角等于二面角E-AC1-B的平面角．cos→GB,→HE=621515530262GBHEGBHEGBHEGBHE,图五xyzGH图六8∴二面角E-AC