电子测量与仪器--第2章课件

1第二章误差与不确定度本章要点：误差的概念与表示方法随机误差、系统误差和粗大误差的特性和处理方法测量不确定度的概念和评定方法测量数据处理的方法本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得与误差打交道。22.1误差的概念与表示方法误差=测量值-真值例如，在电压测量中，真实电压5V，测得的电压为5.3V，则误差=5.3V-5V=+0.3V真值为“表征某量在所处的条件下完善地确定的量值”。真值是一个理想的概念。真值客观存在，却难以获得。实际值------实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际值作为真值使用。“实际值”≈“约定真值”。2.1.1测量误差例如：现在是什么时间？能准确地报出北京时刻吗？3误差的来源1.仪器误差指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差；数字式仪表的量化误差（如5位半的电压表比3位半量化误差小）；比较式仪表中标准量本身的误差（如天平的砝码）均为仪器误差。2.方法误差由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。例如：用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。100k1mAv100k100?50VV电压表内阻4习题2.10被测电阻Rx，电压表的内阻为RV，电流表的内阻为RIIVRx(a)IVRx(b)对于图(a)：//'VxxVxxV2'VxxxV(RR)IRRUR===IIR+R-RR=R-R=R+R对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。53理论误差测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量频率时，常用的公式为01f=2πLC但实际上，回路电感L中总存在损耗电阻r，其准确的公式为201rCf=1-L2πLC64影响误差由于各种环境因素与要求不一致所造成的误差称为影响误差。例如，环境温度、预热时间、电源电压、内部噪声、电磁干扰等条件与要求不一致，使仪表产生的误差。5人身误差由于测量者的分辨能力、疲劳程度、责任心等主观因素，使测量数据不准确所引起的误差。研究误差理论的目的是分析产生误差的原因和规律，识别误差的性质，正确处理测量数据，合理计算所得结果，在一定测量条件下，尽力设法减少误差，保证测量误差在容许的范围内。72.1.2误差的表示方法相对误差绝对误差1.绝对误差：定义：被测量的测量值x与其真值A0之差，称为绝对误差。在实际测量中：“约定真值”≈“实际值”=A表示修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值，一般用C表示C=－Δx=A－x大小正负单位Δx=x－A0Δx=x－A82相对误差：例：用二只电压表V1和V2分别测量两个电压值。V1表测量150伏，绝对误差Δx1=1.5伏，V2表测量10伏，绝对误差Δx2=0.5伏从绝对误差来比较Δx1＞Δx2谁准确？x111Δ±1.5=×100%=×10%=±1%U150x222Δ±0.5=×100%=×100%=±5%U10用相对误差便于比较-----表示相对误差9相对误差可以有多种形式：x0Δ=×100%AxΔ=×100%AxxxΔ=×100%xxmmΔ=×100%=S%真值相对误差实际值相对误差测量值（示值）相对误差满度（或引用）相对误差常用因通常A0、A、XΔX故常用X方便10测量值相对误差γx与满度相对误差S%的关系：xxxxxxxxxxxxmmmxmmΔΔΔ=×100%=×100%=×100%=±S%xxmx=±S%↓↑测量值x靠近满量程值xm相对误差小电工仪表将满度相对误差分为七个等级：等级一二三四五六七±S%0.10.20.51.01.52.55.011例：检定量程为100μA的2.0级电流表，在50μA刻度上标准表读数为49μA，问此电流表是否合格？解：x0=49μAx=50μAxm=100μAxxx0mm-50-49=×100%=×100%=1%2%100（2.0级表）12用分贝（dB）表示相对误差相对误差也可用对数形式（分贝数）表示，主要用于功率、电压的增益（衰减）的测量中。功率等电参数用dB表示的相对误差为dBΔxγ=10lg(1+)dBx（2.9）电压、电流等参数用dB表示的相对误差为dBΔxγ=20lg(1+)xx=20lg(1+γ)dB132.1.3误差的性质与分类随机误差系统误差粗大误差随机误差----不可预定方式变化的误差（同随机变量）系统误差----按一定规律变化的误差粗大误差----显著偏离实际值的误差142.1.4测量结果的评价系统误差ε小，准确度高A或AXiXi随机误差δ小，精密度高AA或Xi系统误差和随机误差都较小，称精确度高A或XiXiΔx=ε+δ+(粗大误差)152.1.5不确定度不确定度是建立在误差理论基础上的一个新概念。在传统误差理论中，总想确定“真值”，而真值却又难以确定，导致测量结果带有不确定性。国际上开始寻求以最佳方式估计被测量的值，引入了不确定度的概念。不确定度愈小，测量结果的质量愈高，愈接近真值，可信程度愈高。AX=A±Δx·±Δx偏离真值的大小总想确定“真值”误差Y=y±UΟ±U被测量可能分散的程度真值所处范围的估值不确定度y162.2随机误差2.2.1定义与性质测量术语：“等精度测量”──在相同条件（同一人、同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测量，称为等精度测量。随机误差定义：在等精度测量下，误差的绝对值和符号都是不定值，称为随机误差，也称偶然误差、或然误差，简称随差。随机误差概念----不可预定方式变化的误差（同随机变量）17举例：对一电阻进行n=100次等精度测量表2.2按大小排列的等精度测量结果测量值xi（Ω）相同测值出现次数mi相同测值出现的概率Pi=mi/n9.9520.029.9640.049.9760.069.98140.149.99180.1810.00220.2210.01160.1610.02100.1010.0350.0510.0420.0210.0510.011819P(x)μx0随机误差性质：服从正态分布，具有以下4个特性：对称性——绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；单峰性——绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；有界性——绝对值很大的误差出现的机会极少，不会超出一定的界限；抵偿性——当测量次数趋于无穷大，随机误差的平均值将趋于零。202.2.2随机误差的统计处理随机误差与随机变量的类同关系1.数学期望设x1，x2，…，xi，…为离散型随机变量X的可能取值，相应概率为p1，p2，…，pi，…其级数和为若绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为E(X)iipxiiipxXE1)(1iip（2.13）x1p1+x2p2+…+xipi+…=iiipx1（2.12）21在统计学中，期望与均值是同一概念1211nniixxxxxnn（2.14）算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x必然趋于实际值。222.方差、标准差方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。随机变量X的方差为X与其期望E（X）之差的平方的期望，记为D（X），即2D()=E{[-E(X)]}XX（2.15）例：两批电池的测量数据·········nX0Xxi····nX0Xxi·······23测量中的随机误差也用方差)(2x来定量表征：n22ii=11σ(x)=(x-x)n式中i(-)xx是某项测值与均值之差，称为剩余误差或残差，记作ii=(-)vxx。将剩余误差平方后求和平均，扩大了离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。24标准差方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记作n2ii=11σ=(x-x)n（2.16）应当指出，剩余误差νi应包含系统误差ε和随机误差δi，因这里只讨论随机误差，故认为系统误差已消除，即Vxxiiii=ε+δ=δ=-25正态分布在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数为221-(x-μ)p(x)=exp[]2σ2πσ当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值x和标准差σ，该正态分布的曲线形状则基本确定。P(x)μx026给出了x=0时，三条不同标准差的正态分布曲线：123σσσ。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据占优势大，即测量精度高。xΦφ(σ)0σ1σ2σ3σ1σ2σ327本书附录A给出了正态分布在对称区间的积分表。其中xxxxxδx-E()-Z===σ()σ()σak=σ（2.18）式中k为置信因子，a为所设的区间宽度的一半。K=1时，K=2时，K=3时，P(xσ)0.9545P(xσ)0.9973P(xσ)0.6827图2.7正态分布下不同区间出现的概率282.2.3有限次测值的算术平均值和标准差上述正态分布是（n→∞）下求得的，但在实际测量中只能进行有限次测量1.有限次测量的算术平均值对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量值的算术平均值与被测量的真值最为接近。设被测量的真值为μ，其等精度测量值为x1，x2，…，xn，则其算术平均值为n12nii=111x=(x+x+.....+x)=xnn（2.19）由于x的数学期望为μ，故算术平均值就是真值μ的无偏估计值。实际测量中，通常以算术平均值代替真值。292.有限次测量数据的标准差—贝塞尔公式上述的标准差是在n→∞的条件下导出的，而实际测量只能做到有限次。当n为有限次时，可以导出这时标准差为xxxn2ii=11s()=(-)n-1（2.20）这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故)(xs被称为标准差的估值，也称实验标准差。303.平均值的标准差在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分m组进行测量，每组重复n次测量，则每组数列都会有一个平均值，由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定分散性。这说明有限次测量的算术平均值还存在着误差。当需要更精密时，应该用算术平均值的标准差x来评价。已知算术平均值x为nii=11=nxxnm12……m1x11x21……xm12x12x22……xm2..nx1nx2n……xmn1()sx1x2()sx()msx2xnxs()s()=nxx31在概率论中有“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和”的定理，可进行下面推导nn222222ii12n22i=1i=1111s(x)=s(x)=s(x)=[s(x)+s(x)+...+s(x)]nnn)()()()(222212xxxxn)(1)(1)(2222xnxnnxnxx)()(因故有所以32当n为有限次时，用标准差的估值即可，则nxsxs)()(（2.21）结论：（2.21）式说明，算术平均值的标准差是任意一组n次测量样本标准差的n分之一。即算术平均值的标准差估值)(xs比样本标准差的估值)(xs比样本标准差的估值)(xs小n倍，表明了各组平均值再平均以后数值更集中了。这是由于随机误差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。意义：（2.21）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组数据，求得标准差，将其除以，则相当于得到了多组数据n的算术平均值的标准差。33归纳：有限次测值的算术平均值和标准差计算步骤：(1)列出测量值的数据表(2)计算算术平均值1211nniixxxxxnn()iivxx221111()()11nniiiisxxxnn(3)残差(4)标准差的估计值（实验标准差）()()sxsxn(5)算术平均值标准差的估计值34例2.6对某信号源的输出频率进行了8次测量，得测量值ix的序列(见表2.3)。求测量值的平均值及