(整理)第九章重积分72341

精品文档精品文档重积分二、典型错误分析例1．求二重积分()Dxydxdy，其中{(,):01,0}Dxyxxy。[错解]因为{(,):01,0}Dxyxyx，所以01,01xy，故1100()()Dxydxdydxxydy101()2xdx1。[分析]积分区域{(,):01,0}Dxyxyx是一个三角形，而在上述求解时积分区域却成了正方形。[正确解法]100()()xDxydxdydxxydy12032xdx12。例2．求二重积分22(10)Dxydxdy，其中22{(,):1}Dxyxy。[错解]令cossinxryr，则2122200(10)(10)Dxydxdydrdr1202(10)rdr623。[分析]由于cossinxryr，则dxdyrdrd，而上述解答中错误地认为dxdydrd。[正确解法]2122200(10)(10)Dxydxdydrrdr精品文档精品文档1302(10)rrdr212。例3．计算22DIxyd，其中D是由222xya及222xyax所围成图形的公共部分。[错解]令1D和2D分别为大、小圆面，则22DIxyd122222DDxydxyd2cos2220002aadddd322()33a。[分析]答案虽然正确，但是解法有问题。因为在小圆内的被积函数，我们不知道，而错误地看成了和大圆的被积函数一样。[正确解法]由于被积函数和积分区域都是对称的，故22DIxyd22200cos2aaadddd322()33a。例4．改变积分2sin00(,)xdxfxydy的次序。[错解]原式02sin1sin1arcsin0arcsin(,)(,)arcyarcyyydyfxydydyfxydy。[分析]问题出现在02sin1arcsin(,)arcyydyfxydy上，因为在x轴的下方区域y取负值，因此arcsin0y。[正确解法]原式02sin1sin1arcsin0arcsin(,)(,)arcyarcyyydyfxydydyfxydy。精品文档精品文档例5．求由平面zxy，0z与柱面22xyax（0a）所围成的体积[错解]原式Dzdxdy()Dxydxdycos2202(cossin)add38a[分析]问题出现在不能保证(,)fxyxy在以22xyax为投影的区域内的非负性。[正确解法]原式Dxydxdycos2202cossinadd331048a例6．求球面22224xyza和柱面222xyax（0a）所包围的且在柱面内部的体积。[错解]因为所求体积的形体关于xoy平面对称，于是原式2Dzdxdy22224Daxydxdy2cos222024adad3322222222[(4sin)(4)]3aad322283ad3163a精品文档精品文档[分析]问题出现在不能保证3232(sin)sin成立。[正确解法]原式2Dzdxdy22224Daxydxdy2cos222024adad3322222222[(4sin)(4)]3aad332228(sin1)3ad3164()33a例7．计算三重积分22()xydxdydz，其中由锥面222xyz与平面za（0a）围成的区域。[错解]因为22()Ixydxdydz222222224000(sincossinsin)sinaddrrrdr2344000sinaddrdr5252(2)154a[分析]问题出现在对r的积分上限，错误地认为是a，而应该为cosa。[正确解法]22()Ixydxdydz222222224cos000(sincossinsin)sinaddrrrdr2344cos000sinaddrdr510a精品文档精品文档例8．计算三重积分222()xyzdxdydz，其中：2222xyzR。[错解]2222()xyzdxdydzRdxdydz2Rdxdydz543R[分析]若从积分的物理意义去理解，起错误是明显的。把三重积分看成质量，则被积函数222(,,)fxyzxyz就是球体的密度，它与球体上的点到原点的距离的平方成正比（比例系数为1），仅当点在球面2222xyzR上时，其密度才是2R。[正确解法]采用球坐标计算22224000()sinRxyzdxdydzddrdr545R三、综合题型分析例9、求椭球体1222222czbyax的体积。[分析]由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。[解]由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。作广义极坐标变换sin,cosbryarx（20,0,0,0rba）。这时椭球面化为222221])sin()cos([1rcbbraarcz。又精品文档精品文档abrbrbarayyxxrDyxDrrcossinsincos),(),(，于是drdrDyxDrzdyxzVxyxyxy),(),(),(),(81drrrabcabrdrrcd102102201211022)1()121(2rdrabcabcrabc6])1(32[22110232。所以椭球体积abcV34。例10、估计积分(10)DIxyd的值，其中D是由圆周224xy围成。[分析]由重积分的性质：在区域D上，如果(,)(,)fxygxy，则(,)(,)DDfxydgxyd，来进行估计。[解]先求函数(,)10Fxyxy在区域D上的极值。因为(,)10fxyxy没有驻点，所以最值一定在边界取得。设22(,)10(4)Gxyxyxy，则由拉格朗日乘数法22120,120,40,xyGxGyGxy得驻点为(2,2)和(2,2)，比较得(,)fxy的最小值1022m，最大值精品文档精品文档1022M。因为积分区域的面积为4，故8(52)8(52)I。例11、估计积分22101100cossinxyIdxy的值。[分析]可以由重积分的性质：在区域D上，如果(,)(,)fxygxy，则(,)(,)DDfxydgxyd，来进行估计。也可以由积分中值定理来估计，在本质上是一致的。[解]因为函数221(,)100cossinfxyxy在闭区域:10Dxy上连续，所以在D上至少存在一点(,)使得221(,)100cossinf，显然22111102100cossin100，而积分区域的面积为100，故100251I。例12、计算21200yxdxedy[分析]直接计算是困难的，要交换积分顺序。[解]22211122000yyxydxedyedydx21220(1)yeydy精品文档精品文档12e例13、计算积分222211Dxydxy，其中区域D为221xy在第一象限的部分。[分析]被积函数中含圆，如果用直角坐标计算是困难的，采用极坐标计算。注意：一般来说，对被积函数或积分区域含圆，扇形，半圆，圆环等，往往采用极坐标计算比较简单。[解]设cossinxryr，则2222221111DDxyrdrdrdxyr21240011rdrdrr2140121rrdrr，令2tr，则原式212014841tdtt。例14、计算221()xyxydxdy[分析]被积函数中含有绝对值的积分，在计算是先要去掉绝对值，这是解题的一般方法。[解]由函数和积分区域的对称性，2211()4()Dxyxydxdyxydxdy，其中1D是在第一象限的部分，故2211()4()Dxyxydxdyxydxdy12004(cossin)drrrdr精品文档精品文档83。例15、设函数(,)fxy连续，且(,)(,)Dfxyxyfuvdudv，其中D由1yx，1x，2y围成，求(,)fxy。[分析]这是一道综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难。首先可以知道积分(,)Dfuvdudv是一个常数，因此(,)(,)Dfxyxyfuvdudv变为(,)(,)Dfxyxyfuvdudv，两边再求二重积分就可以坚决了。[解]设(,)DAfuvdudv，则(,)DAfxydxdy。故(,)(,)DfxyxyfuvdudvxyA，两边求二重积分，则()DAxAydxdy2111()ydyxAydx1124A，从而12A，故1(,)2fxyxy。例16、计算2221Ixyzdxdydz，其中22:1xyz。[分析]被积函数中含有绝对值的积分，在计算是先要去掉绝对值，这是解题的一般方法。因此要将积分区域分成几部分。[解]积分区域被球面分成上下两部分1和2，故2221Ixyzdxdydz精品文档精品文档12222222(1)(1)xyzdxdydzxyzdxdydz以上积分均要采用球面坐标计算。11222224cos000(1)(1)sinxyzdxdydzddrrdr124cos002sin(1)drrdr(324)12。22122224000(1)(1)sinxyzdxdydzddrrdr124002sin(1)drrdr(22)12。故(21)6I。例17、设()ft为连续函数，证明()()()aaDfxydxdyftatdt，其中{(,):,,0}22aaDxyxya[分析]这种类型的题目有一点小技巧，解题的常用方法是坐标变换。[解]令uxyvxy，则1()21()2xvuyvu，所以积分区域由{(,):,,0}22aaDxyxya变为*{(,):,,0}Duvavuaavuaa，且雅可比式为精品文档精品文档(,)1(,)2xyJuv。*1()()2DDfxydxdyfududv0011()()22auaauaauuafududvfududv00()()()()aaaufuduaufudu00()()()()aaaufuduaufudu()()aaftatdt。例18、计算二重积分22max{,}xyDedxdy，其中{(,):01,01}Dxyxy