1.1一轮复习课件(集合的概念及其运算)

教材面面观1．集合中元素的特征具有________、________和________．2．空集是________，记为________．答案确定性互异性无序性答案不含有任何元素的集合∅3．数学中自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集，它们的记法分别为________．4．常用的集合表示方法有：________、________和________．答案NN＋(N*)ZQR答案列举法描述法图示法5．子集的定义为___________________________.6．集合A与集合B相等的定义为___________________．答案一般地，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．答案一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，记作A＝B.7．交集的定义的文字语言表述为___________________.符合语言表示为A∩B＝_______________________.8．交集的五条运算性质分别为：(1)A∩B＝________(交换律)；(2)A∩A＝________；(3)A∩∅＝________；(4)A∩B与A的关系为________；A∩B与B的关系为________；(5)A∩B＝A成立的等价条件为________．答案一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集{x|x∈A，且x∈B}答案(1)B∩A(2)A(3)∅(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B(5)A⊆B9．并集的定义的文字语言表述为___________________.符号语言表示为A∪B＝________.10．并集的五条运算性质分别为：(1)A∪B＝________(交换律)；(2)A∪A＝________；(3)A∪∅＝________；(4)A∪B与A的关系为________；A∪B与B的关系为________；(5)A∪B＝A成立的等价条件为________．答案一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集{x|x∈A，或x∈B}答案(1)B∪A(2)A(3)A(4)A⊆A∪B；B⊆A∪B(5)B⊆A11．补集与全集的性质分别为(1)∁UU＝________；(2)∁U∅＝________；(3)∁U(∁UA)＝________；(4)A∪∁UA＝________；(5)A∩∁UA＝________.答案(1)∅(2)U(3)A(4)U(5)∅考点串串讲1．集合的概念与表示(1)集合与元素一般地，某些指定的对象集在一起，就称为一个集合，也简称集．或者说，符合某种条件(或具有某种性质)的全体就构成了一个集合．通常用大写字母A，B，C，…表示集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a，b，c，…表示．(2)集合的分类②空集：不含任何元素的集合叫做空集，通常用符号∅表示．如：x，y|2x－y＝14x－2y＝3是空集，一方面它说明了方程组2x－y＝14x－2y＝3无解，另一方面从解析几何的角度分析，说明了直线2x－y＝1与直线4x－2y＝3平行，没有公共点，因此由这两条直线的公共点组成的集合是一个空集．注意集合{∅}、空集∅、数字0和{0}的区别与联系：∅⊆{∅}，∅∈{∅},0∈{0}，∅≠0，∅≠{0}．(3)基本数集专用符号常用的基本数集有正整数集N*、自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R和复数集C，它们之间满足的关系是N*NZQRC.要认识清楚这些集合的意义．(4)集合中元素的性质集合的元素具有确定性、互异性、无序性．①确定性：对于集合A和某一对象x，有一个明确的判断标准，要么x∈A，要么x∉A，二者必居其一．如：“所有的高个子”、“学习成绩好的人”．这类对象没有明确的标准，因此不能构成集合．②互异性：集合中的相同元素只能算作一个，即集合中没有重复的元素．如：{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，而不能写成{1,1}．③无序性：集合中的元素是无序的．如：{1,2}与{2,1}是同一个集合．两个集合相等：当且仅当它们的元素完全相同时，这两个集合才相等．(5)元素与集合的关系①元素与集合的关系是“属于”与“不属于”的关系，某个对象x要么在集合A中，要么不在集合A中．如果x在A中，记为：x∈A，读作“x属于A”；如果x不在A中，记为：“x∉A”，读作“x不属于A”．如：3∈{3,5,8}，而2∉{3,5,8}．②元素与集合之间是个体与整体的关系．③“∈”与“∉”不能随便用来表示集合与集合之间的关系，除非某个集合是另一个集合中的“元素”！如：{1}∈{1,3,5}，{2}∉{1,3,5}，这样的写法是错误的，而{1}∈{{1}，{3}，{1,3}}这种写法是正确的，因为在这里集合{1}是集合{{1}，{3}，{1,3}}中的元素了．(6)集合的表示法集合的表示法有列举法，描述法，图示法(Venn图法)．①列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示法叫做列举法．列举法适用于元素为有限个的集合或自然数集或其子集．如：Z＝{0，±1，±2，±3，…}，N＋＝{1,2,3，…}．②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫做描述法．如：不等式|x|≤1的解集可以用描述法表示为：{x||x|≤1}．大括号中“|”的前面是集合的代表元素，后面是元素所满足的条件，即集合中所有元素共同具有的本质特性，有时“|”用“：”代替，如{a＋2b：a∈Q，b∈Q}．对于描述法需注意看清代表元素：如集合{x|y＝x－1}，表示函数y＝x－1的定义域，而集合{y|y＝x－1}则表示函数y＝x－1的值域．还有方程组fx，y＝0gx，y＝0的解集是x，y|fx，y＝0gx，y＝0，这个集合中元素的形式是有序数对(x，y)，其几何意义就是两曲线f(x，y)＝0与g(x，y)＝0的交点．如方程组x＋y＝23x－y＝6的解集应写成x，y|x＝2y＝0或{(2,0)}，而不能写成{2,0}，前者是单元集，即方程组只有唯一解x＝2y＝0，亦即两直线只有唯一的公共点P(2,0)，而{2,0}是一个二元集．③图示法：有时为了直观起见，用“框”或“圆”表示集合及其相互关系，这种表示法叫做Venn图法．如图所示．各种表示法是可以相互转化的．如：{x||x|≤3，x∈Z}＝{0，±1，±2，±3}．2．集合之间的关系(1)子集、真子集①定义：如果对于集合A中的任何一个元素x，都有x∈B，则称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.特别地，如果A是B的子集，且在集合B中至少有一个元素x∉A，则称A是B的真子集，记作AB，或BA.如QR，NZ.②作为定义的特殊情况有：(ⅰ)空集是任何非空集合的真子集，即∅A，是任何集合的子集，即∅⊆A；(ⅱ)任何集合A都是它本身的子集，即A⊆A.③注意：(ⅰ)在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合．(ⅱ)子集与真子集的区别就在于“A⊆B”允许A＝B或AB，而“AB”是不允许“A＝B”的，所以若“A⊆B”则“AB”不一定成立．④若集合A的元素有n个，则集合A的子集有2n个，其证明方法需要用到排列组合知识．如集合A＝{0,1,2}的子集有23＝8个，它们分别是：{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，其中真子集有23－1＝7个，即集合{0,1,2}除外，其余的7个都为真子集．(2)两个集合的相等关系——集合的相等①定义：对于两个集合A、B，如果A⊆B，同时B⊆A，那么A＝B.②注意：(ⅰ)从两个集合相等的定义，可以看出，若两个集合相等，则两个集合的元素完全相同，反之也成立；(ⅱ)教材中用彼此互相包含来定义相等．实际上也给出了两个集合相等的证明方法．3．集合的运算(1)交集①定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．用Venn图表示：图中阴影部分为A∩B.②根据定义，用Venn图不难验证下述交集的性质．③注意：(ⅰ)根据定义可知A∩B是由集合A与集合B的公共元素所组成的集合，如果A与B没有公共元素，则A∩B＝∅.这一条可以看成是对定义的补充，所以又有了A∩∅＝∅；(ⅱ)如果集合B不确定而已知A∩B＝∅，则应分两种情况考虑，一种是B≠∅的情形，另一种是B＝∅的情形，在实际解题过程中有不少同学常常忽略这种情形．(2)并集①定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．②根据定义，用Venn图可以验证并集的性质．(3)全集与补集①全集(ⅰ)定义：如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看做是一个全集，常用U、I或S来表示．(ⅱ)注意：全集具有相对性，如研究有理数或无理数时常取实数集为全集．②补集(ⅰ)定义：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A⊆S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S的子集A的补集(或余集)，记为∁SA，即∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}．用Venn图表示，图中阴影部分为∁SA.(ⅱ)根据定义及上图可以得出：∁S(∁SA)＝A，∁S∅＝S，∁SS＝∅.(4)集合中元素的个数①card(A)＋card(∁UA)＝card(U)②card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)(容斥原理)③card(A∩B)＝card(A)－card(A∩∁UB)＝card(B)－card(B∩∁UA)典例对对碰题型一集合的表示方法例1用列举法表示下列集合：(1){x|62－x∈Z，x∈Z}；(2){x|x＝ab，a∈Z，|a|＜2，b∈N*且b≤3}；(3){(x，y)|y＝2x，x∈N且1≤x＜4}．解析(1)∵62－x∈Z，∴|2－x|是6的因数，故|2－x|＝1或|2－x|＝2或|2－x|＝3或|2－x|＝6，即x＝1、3、4、0、－1、5、－4、8.∴{x|62－x∈Z，x∈Z}＝{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．(2)由a∈Z，|a|＜2，知a＝－1、0、1，由b∈N*且b≤3，知b＝1、2、3.所以ab的值为－11、01、11、－12、02、12、－13、03、13.考虑到集合中元素的互异性，故原集合可用列举法表示为{－1,0,1，－12，12，－13，13}．(3)∵x∈N且1≤x＜4，∴x＝1、2、3，其对应的y值分别为2、4、6，故原集合用列举法可表示为{(1,2)，(2,4)，(3,6)}.变式迁移1用列举法表示下列集合：(1)24的正约数；(2)数轴上与原点的距离小于1的所有点；(3)平面直角坐标系中Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的点；(4)所有非零偶数；(5)所有被3除余数是1的数．解析(1){1,2,3,4,6,8,12,24}；(2){x||x|＜1}；(3){(x，y)|y＝x}；(4){x|x＝2k，k∈Z，k≠0}或{x|x2∈Z且x≠0}；(5){x|x＝3k＋1，k∈Z}.题型二集合与集合之间的包含关系例2设集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，则()A．M＝NB．MNC．MND．M∩N＝∅解析M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}＝{x|x＝2k＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}＝{x|x＝k＋24，k∈Z}．∵2k＋1为奇数，而k＋2为整数，∴MN，故选B.答案B变式迁移2集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3l＋1，l∈Z}，S＝{y|y＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()A．SPMB．S＝PMC．SP＝MD．S＝P＝M答案C解析集合M中的元素是被3除余1的数，集合