数学大师启示录-莱布尼兹

我有这么多的想法，假如某一天某地的人能够比我更深入地对它们加以研究，并且把他们思想的妙处和我的劳动结合起来，这些想法很可能有一天会得到利用。——莱布尼兹由远而近的马车蓝天白云之下，大地恬静而舒展。西斜的太阳让树林、田野和远处的山峦都带上了倦意。灰褐色的道路一眼望不见尽头。一辆马车由远而近，嘚嘚嘚的马蹄声表明它在急速地赶路。颠簸的车厢里坐着一个英俊的青年。他不凭窗眺望，却埋头在旅行箱上疾书。当他停笔思考的时候，深思的目光中露出一丝怏怏的神情。一个人受到不公正的待遇，难免不高兴，何况是个血气方刚的青年。20岁的莱布尼兹刚刚从莱比锡大学毕业。因为嫉妒他的知识和才华，教授竟会借口他太年轻而拒绝他的博士学位的申请。莱布尼兹一气之下离开莱比锡，决定到纽伦堡去争取学位。他现在赶写论述教授法律新方法的论文，就是为迎接新的学位考试作准备。少年在沉思中1646年7月1日，戈特夫里德·威廉·莱布尼兹出生于莱比锡的书香门第。父亲弗雷德里希是莱比锡大学的伦理学教授。母亲卡德琳娜·舒马克是斯拉夫人的后裔，也是书香门第。莱布尼兹一家三代为萨克森政府服务，可以说是典型的士大夫阶层。小莱布尼兹在浓厚的学术气氛中长大。他进尼可莱学校的时候，已经显出他的早熟。教师想用固定的教材来限制他，免不了出现早熟儿童和常规教育之间常见的矛盾。小莱布尼兹不愿意接受老师的限制和校规的约束，主要在家里自学。他8岁开始学习拉丁语，12岁能够用拉丁文作诗，很快又精通了希腊语。1652年，小莱布尼兹才6岁，父亲不幸病故。他想念父亲，常常跑进父亲的藏书室，翻阅父亲生前阅读的书籍。小莱布尼兹继承了父亲对历史的兴趣。从父亲丰富的藏书中，他知道了古希腊的文明和罗马帝国的兴衰，十字军和成吉思汗的征讨，迷人的中国和印度的东方文化，……古代语言的学习已经满足不了他的求知欲望。连绵30年的德意志内战好不容易结束了，但是它给国家和人民留下深重的苦难，动摇了小莱布尼兹对古代战争的向往。算术中单调的运算也使他感到乏味。和笛卡儿一样，莱布尼兹在阅读的时候愈来愈多地停下来沉思默想，而且随着年龄的增长，思考得愈来愈深入了。亚里士多德是学术史上一位伟大的权威人士，虽然后来受到伽利略等人的挑战，一般人对他的学说是顶礼膜拜的。他的逻辑学三段论法，学者都奉为金科玉律，可是小莱布尼兹感到不满足。他认为，逻辑学不但应当帮助人们正确地思考和表达，而且应该使人们能够科学地、更富有成效地推理。莱布尼兹慢慢地萌发一种“普遍数学”的思想。他想通过数字和符号的组合和运算来思索推理，从而发现新的客观规律。许多这样年纪的孩子还处于混沌之中，小莱布尼兹想像的奔马却已经驰骋到荒无人迹的原野上了。1661年，15岁的莱布尼兹成了大学生，在莱比锡大学攻读法律。他在学习法律的同时还广泛阅读哲学和历史的著作。开普勒、伽利略和笛卡儿等自然哲学家的作品使他耳目一新。和以前的哲学家单纯的思辨不同，他们使用数学语言来分析自然的数量关系。莱布尼兹认识到，要了解自然，必须学习数学，因此，两年以后，他来到耶拿大学听艾哈德·维格特的数学讲座学习欧几里得几何。维格特教授虽然算不上是富有创造力的数学家，但是欧几里得几何本身的魅力使莱布尼兹着了迷。要不是他头脑里已经装满各式各样的思想见解，他可能选择几何作为自己的终身事业了。欧几里得几何体系的逻辑力量对他产生这样深刻的印象，以致他后来试图用欧几里得的公理方法来处理伦理学；古希腊几何学家的光辉形象也使年轻的莱布尼兹无比崇敬，他深有感慨地说：“了解阿基米德和阿波罗尼奥斯的人，对后代杰出人物的成就不会再那么钦佩了。”阿基米德等先驱者们的伟大精神鼓舞着莱布尼兹去探索自然。宏大理想莱布尼兹没有沉醉在几何学里。他有更宏大的理想。从耶拿大学回到莱比锡，莱布尼兹又致力于他主修的法律，准备考博士学位。但是，他少年时代酝酿的“普遍数学”的思想时常萦绕在脑际。在研读笛卡儿著作的时候，他觉得笛卡儿重视代数方法是有道理的。但是，代数不应该停留在数量关系上，还要应用到逻辑推理上去。他感到“普遍数学就好比是想像的逻辑”，应该能够论述“在想像范围内可以精密确定的一切东西”。代数的符号表示概念，代数的运算代替推理。有了这种“代数逻辑综合”的科学，就可以建立起推理的普遍系统。想到这里，他按捺不住澎湃的思潮，连夜把自己的体会写下来，并且取名为《论组合的艺术》。莱布尼兹指出，他的目的在于创造“一种普遍的方法，在那里，一切理性的真理都归结为一种计算。这是一种通用的语言或文字，但是它同到目前为止所设想的一切语言或文字截然不同。计算中的符号以至语言支配着推理，而错误，除了事实的错误以外，就仅仅是运算发生的错误了。要形成或发明这种语言或特征是非常困难的，但是，不用任何词典，要了解它却是非常容易的。”后来，他还向惠更斯介绍过这种方法：它具有“完全不同于代数的全新的特征，它对于确切而自然地表达思维有极大好处。它没有图形，一切取决于想像。……这种方法能够简单而确定地导致所要求的结果。我相信力学几乎可以和几何学一样，用这种方法来处理。”他认为这种方法比笛卡儿的几何更加优越。果然，到19世纪，卓越的德国数学家、语言学家海尔曼·格拉斯曼(1809—1877)终于发明用直接的符号运算来研究几何的方法。在论文中，莱布尼兹把那些不相同又不重叠的所谓原始概念分别用一些素数来表示。比如用“3”表示“人”，用“7”表示“理性的”，那么“21”就表示“有理性的人”。当然，从这样简单的办法到实现他的理想还有一段漫长的路程。经过进一步的研究，莱布尼兹得到一些真正属于今天逻辑代数的结果。他直接或间接地建立“逻辑和”、“逻辑积”和“等同”、“否定”、“空集”、“包含”等重要概念。令人感兴趣的是，在《论组合的艺术》中，莱布尼兹还分析了高阶等差数列。因此，他后来独立于牛顿建立了微积分就不难理解了，因为他的微积分中一个想法就是把高阶的“差”可以略去作为基础的。莱布尼兹完全知道，整个工作必须经过长期艰苦的研究才可能完成，而他自己的认识还很不成熟。因此他戏称自己的《论组合的艺术》是一篇“学童论文”。的确，莱布尼兹的远见卓识对于同时代的数学界和科学界的同行，如果说得客气一点，没有把它当作痴人说梦的话，那么也仅仅是梦想而已。一直到19和20世纪，经过逻辑代数创始人，英国数理逻辑学家布尔(1815—1864)、德国数理哲学家、逻辑学家弗雷格(1848—1925)和在数理逻辑、数学基础上有重大成就的美籍奥地利数学家哥德尔(1906—1978)等人的努力和发展，莱布尼兹的理想才部分地得到实现。一门新兴的学科——数理逻辑诞生了。数理逻辑又称符号逻辑，它是用数学方法研究关于推理、证明等问题的一门学科。它在开关线路、自动化系统和计算机设计等方面得到广泛的应用，对数学的基础和人类社会生活有不可估量的影响。这一年，牛顿在故乡乌尔索普获得了划时代的伟大发现，而历史或许有一天会证明，莱布尼兹“学童论文”的意义并不亚于牛顿的发现!马车上的学者莱布尼兹在莱比锡大学申请博士学位的挫折很快过去。1666年11月5日，莱布尼兹以他在马车上赶写的《论教授法律的新方法》一文轻而易举地在纽伦堡阿尔特道夫大学分校得到博士学位。学校聘请他留校当教授。和当年笛卡儿谢绝接受中将军衔一样，莱布尼兹婉拒了学校的邀聘，声称自己另有志向。他看不惯当时大学里保守、教条、拘泥细节和无所作为。莱布尼兹的志向是什么，他自己没有说明。不过，无论如何，决不像是后来命运所安排的：为王公贵族考证和修订已经发霉的家谱!这是莱布尼兹的悲剧：他在结识科学家以前，接触的是法学家。莱布尼兹的博士论文受到美因茨选侯亲信们的注意。他们劝他把文章印出来送给选侯看。追求功名之心正切、人生阅历尚浅的莱布尼兹一口答应了。文章果然大受赏识。选侯召见莱布尼兹，委任他负责法典的修订，后来又让他充当选侯的外交官去完成各种微妙的使命。从那以后，莱布尼兹关于“普遍数学”的宏伟蓝图被束之高阁；他的聪明才智被虚掷在诸侯们勾心斗角、争权夺利的漩涡之中。得到的回报只是一两句无关痛痒的夸奖和一大堆闪光的钱币。作为公侯显贵们的顾问、律师、教师和外交官，莱布尼兹由于那帮老爷们反复无常的命令，长年在欧洲四处奔走。马车从荷兰的阿姆斯特丹到意大利的罗马，从法国的巴黎到比利时的布鲁塞尔，他的大部分岁月就是在那坎坷不平的道路上、在四面通风的马车里度过的。长期单调疲乏的旅途生活，使脑子一刻也闲不住的莱布尼兹把车厢变成了工作室。他把在各地听到和见到的新事物、新思想带到马车上来细细分析、批判、吸收，再加上自己的创见，最后伏在箱子上把它们写成一篇篇独具风格、意义深刻的作品。这就是今天仍然一捆捆地收藏在德国汉诺威图书馆里发黄的、开本不同、纸质各异的文稿，期待着耐心的读者去考查研究，就像从稻草垛里筛出谷粒一样，从文稿中拣出作者有价值的作品。从已经发表和还没有发表的作品来看，莱布尼兹研究所涉及的领域达41个之多。无论是政治、经济、外交、法律，还是哲学、语言、历史、神学，以至天文、地理、地质、采矿、……几乎可以说，凡是当时学术界所涉及的一切领域，都有莱布尼兹的杰出贡献。更使人惊叹不已的是，各个学科的专家、权威，无一例外地把莱布尼兹奉为这些学科历史上的大师。如果说学术史上曾经有过门门精通的全才，那么，配得上这个光荣称号的莫过于莱布尼兹了。不过，到现在为止，他在数学上的工作相对来说是比较少的。除了一篇有关“普遍数学”的“学童论文”，还没有更多的作品。1672年。早春三月的巴黎，和风拂面，阳光铺地。枝头上绽出的点点新芽迎接着春天的来临。一辆风尘仆仆的马车来到一幢灰色楼房前面，嘎的一声停下了。这是克里斯蒂安·惠更斯的寓所。从车里跳下一位穿着黑礼服，身材颀长的青年。他快步走到雕着花纹的深褐色的大门前，举起了手——莱布尼兹来叩现代数学的大门了。名师指路1672年3月，莱布尼兹作为美因茨选侯的使节来到巴黎。他和惠更斯历史性的会见，揭开了数学史上光辉的一页。克里斯蒂安·惠更斯是荷兰著名的物理学家、数学家和天文学家。早在17世纪50年代，惠更斯就以对钟摆的研究而闻名遐迩。他通过长期的观测，首先证明土星的光环完整地围绕着这个行星，并且确定了光环平面和黄道的夹角。1659年，他第一次绘出火星的图像和猎户座中的大星云。1663年，惠更斯被英国皇家学会选为第一位外籍会员。后来他又发现土星的最大卫星土卫六，并且指出它总以同一面对着它的主星，也就是它的自转周期和公转周期相同。惠更斯最杰出的贡献是在光学方面。1678年他提出光的波动说。利用这个学说可以很好地解释反射和折射等光传播过程中的现象。他提出的确定波前位置的几何方法精确地适用于一切波动现象，以惠更斯原理驰名。惠更斯和笛卡儿、伽利略、牛顿等人一样，十分重视数学在科学研究中的作用。1657年，他发表《关于骰子游戏或赌博的计算》是概率论发展初期的重要文献。他在研究钟摆的同时，研究了渐伸线和渐屈线，给出曲线曲率半径的计算公式。他还计算过蔓叶线的弧长和抛物面、双曲面的表面积。莱布尼兹来向这位长发披肩、红光满面的大学者讨论问题的时候，惠更斯拿出自己的新作《摆动的时钟》请莱布尼兹提意见。在论文中，惠更斯利用数学方法揭示了一个并不直观却十分重要的力学规律：沿着摆线弧摆动的钟摆，不论振幅大小，作一次完全摆动的时间是相同的。这就是复摆的等时性。看着看着，莱布尼兹完全被数学方法的神奇威力所摄住了。他深深地为他自己“以前基本上不懂数学”而遗憾。他恳请惠更斯给他补课。不用说，为这样一位聪颖绝顶、精力过人的朋友上课，惠更斯是无法推辞的。莱布尼兹如饥似渴地听惠更斯介绍格雷果里、卡瓦列里、伽利略、托里拆利、罗贝瓦尔、帕斯卡、笛卡儿、费马和巴罗的著作，激起他巨大的热情。他一边研读，一边做了大量的笔记，很快就达到这个世纪数学的前沿。他已经作好一切准备，去迎接这个世纪最伟大、最激动人心的决战。微积分的发明1673年1月，莱布尼兹作为选侯的侍从，渡过波涛汹涌的多佛尔海峡来到多雾的伦敦。这次旅行使他有机会结识包括巴罗和牛顿在内的许多英国科学家。和这些学者的思想交流，大大开阔了莱布尼兹的视野，促进了他的数学研究，特别是巴罗表示变量变化局部关系的几何图像，也就是