高等数学全套公式

高等数学（1）一、三角函数1．公式同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1;tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα·倒数关系：tanα·cotα=1;sinα·cscα=1;cosα·secα=1三角函数恒等变形公式：·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]2．特殊角的三角函数值)(f0)0(6)30(4)45(3)60(2)90(cos12/32/22/10sin02/12/22/31tan03/113不存在cot不存在313/10只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。3诱导公式：函数角Asincostgctg-α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα记忆规律：竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）二、一元二次函数、方程和不等式acb42000)0(2＞一元二次函数acbxaxy2.1x02cbxax一元二次方程aacbbx2422,1有二互异实根abx2)(2,1有一根有二相等实根无实根)0(＞式等不次二元一a02＞cbxax2121)(xxxxxx＞或＜＜abx2Rx02＜cbxax21xxxxx三、因式分解与乘法公式145214512306032x1x22222222332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(abababaabbabaabbabababaabbababaabbaababbabaababbababcabbcca　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21221)(9)()(),(2)nnnnnnabcababaababbn　　　四、等差数列和等比数列1111122nnnnaandnaannnSSnad1.等差数列　通项公式：　前项和公式或1100nnnGPaaqaq2.等比数列通项公式，11.1111nnnaqqSqnaq前项和公式五、常用几何公式平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角S＝Dd/2＝a2sinαD－长对角线长d－短对角线长梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号表面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底=Ch+2πr2V＝S底h＝πr2h圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd3/6S=4πr2＝πd2基本初等函数名表达式定义域图形特性称常数函数CyRyC0x幂函数xy随而异，但在R上均有定义00.20.40.60.811.21.41.61.800.20.40.60.811.21.41.61.8y=xy=x-1y=x1/3y=x-2y=x3过点(1，1);0时在R单增；0时在R单减．指数函数10aaayxR-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-0.500.511.522.533.544.5(0,1)y=axy=axx0a1yo0y．过点1,0．1a单增．10a单减．,,mnmnmnmnmmnnaaaaaaaa对数函数10logaaxyaRy=logaxy=logaxa10a1O(1,0)xy过点1,0．1a单增．10a单减．loglog1,log10,,0logloglog,logloglog,loglog,loglog0,1,loglog(0)(0)aaaaaaaaapaacacxaxaMNMNMNMMNNMPMbbcaaxxaxx正弦函数xysinR-/2Oxy1-1/23/22奇函数．2T．1y．余弦函数xycosROxy1-1/23/22-/2偶函数．2T．1y．正切函数xytan2kxZkOxy/2-/2奇函数．T．在每个周期内单增余切函数xycotkx,Zk-Oyx奇函数．T．在每个周期内单减．反正弦函数xyarcsin1,1-/2/21-1yxo奇函数．单增．22y．反余弦函数xyarccos1,1/21-1yxo单减．y0．反正切函数xyarctanR/2-/2yxo奇函数．单增．22y．反余切函数xycotarcRyxo/2单减．y0．极限的计算方法一、初等函数：1.lim(2.lim0lim0,:lim03.lim0,:0lim004.lim00CCCfxMfxfxfxCCfxfxMfxCfxCCCCC是常值函数）若（即是有界量），（即是无穷小量），特别若（即是有界量）特别5.010.,,.(sin~,1~,ln1~)xABxxexxx未定式型分子分母含有相同的零因式消去零因式等价无穷小替换常用.,,lim,,limlimfxfxfxCfxgxgxgxgx洛必达法则：要求存在且存在此时2.,,,.,,...ABC型忽略掉分子分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大保留最高阶的无穷大再化简计算分子分母同除以最高阶无穷大后再化简计算洛必达法则型型或转化为数有理化通过分式通分或无理函型00,300100104转化为.1lim17060051000或求对数来计算通过型型型求对数求对数exxx二、分段函数：,.分段点的极限用左右极限的定义来求解切线方程为：))((000xxxfyy法线方程为)()(1000xxxfyy基本初等函数的导数公式(1)　0)(C，C是常数(2)1)(xx(3)aaaxxln)(，特别地，当ea时，xxee）（(4)axxaln1)(log，特别地，当ea时，xx1ln）（(5)xxcos)(sin(6)xxsin)(cos(7)xxx22seccos1)(tan(8)xxx22cscsin1)(cot(9)xxxtan)(sec)(sec(10)xxxcot)(csc)(csc(11))(arcsinx211x(12)211)(arccosxx(13)211)(arctanxx(14)21(arccot)1xx函数的和、差、积、商的求导法则可导都在点及函数xxvvxuu)()(，)()(xvxu及的和、差、商(除分母为0的点外)都在点x可导,)()(])()([)1(xvxuxvxu)()()()(])()([)2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)((xv基本初等函数的微分公式(1)、0dc(c为常数)；(2)、1()dxxdx(为任意常数)；(3)、()lnxxdaaadx，特别地，当ea时，()xxdeedx；(4)、1(log)lnadxdxxa，特别地，当ea时，1(ln)dxdxx；(5)、(sin)cosdxxdx；(6)、(cos)sindxxdx；(7)、2(tan)secdxxdx；(8)、2(cot)cscdxxdx；(9)、(sec)sectandxxxdx；(10)、(csc)csccotdxxxdx；(11)、21(arcsin)1dxdxx；(12)、21(arccos)1dxdxx；(13)、21(arctan)1dxdxx；(14)、21(cot)1darcxdxx．曲线的切线方程000'()()yyfxxx幂指函数的导数极限、可导、可微、连续之间的关系条件A条件B，A为B的充分条件条件B条件A，A为B的必要条件条件A条件B，A和B互为充分必要条件边际分析边际成本MC=()Cq；