2013年湖南省对口招生数学试卷(word版含答案)

湖南省2013年普通高等学校对口招生考试数学试题一.选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1.已知集合A＝{3,4,5},B＝{4,5,6},则A∩B等于()A.{3,4,5,6}B.{4,5}C.{3,6}D.2.函数y＝x2在其定义域内是()A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数3.“x＝2”是“(x－1)(x－2)＝0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知点A(m,－1)关于y轴的对称点为B(3,n),则m,n的值分别为()A.m＝3,n＝－1B.m＝3,n＝1C.m＝－3,n＝－1D.m＝－3,n＝15.圆(x＋2)2＋(y－1)2＝9的圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离为()A.75B.35C.3D.16.已知sin＝45，且是第二象限角，则tan的值为()A.－34B.－43C.43D.347.不等式x2－2x－3＞0的解集为()A.(－3,1)B.(－∞,－3)∪(1,＋∞)C.(－1,3)D.(－∞,－1)∪(3,＋∞)8.在100件产品中有3件次品，其余的为正品，若从中任取5件进行检测，则下列事件是随机事件的为()A.“5件产品至少有2件正品”B.“5件产品中至多有3件次品”C.“5件产品都是正品”D.“5件产品都是次品”9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD1与平面A1ADD1所成角的正切值为()A.33B.22C.1D.210.已知椭圆x24＋y2m2＝1(m＞0)的离心率为12，则m＝()A.3或5B.3C.433D.3或433二.填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分,将答案填在答题卡中对应题号的横线上)11.为了解某校高三学生的身高，现从600名高三学生中抽取32名男生和28名女生测量身高，则样本容量为.12.已知向量→a＝(1,－2),→b＝(2,1),则|2→a－→b|＝.13.函数f(x)＝4－3sinx的最大值为.14.(2x＋1x)6的二项展开式中，x2项的系数为.(用数字作答)15.在三棱锥P－ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，PC⊥平面ABC，PA＝5，则该三棱锥的体积为.三.解答题(本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题，共60分，解答应写出文字说明或演算步骤)16.(本小题满分8分)已知函数f(x)＝loga(2x－1)(a＞0且a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)的图像经过点(2,－1),求a的值.17.(本小题满分10分)从编号分别为1,2,3,4的四张卡片中任取两张，将它们的编号之和ABCDA1B1C1D1记为X.(1)求“X为奇数”的概率；(2)写出X的分布列，并求P(X≥4).18.(本小题满分10分)已知向量→a＝(2,1),→b＝(－1,m)不共线.(1)若→a⊥→b,求m的值；(2)若m＜2,试判断〈→a,→b〉是锐角还是钝角，并说明理由.19.(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列，a2＝5,a3＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2n-1,cn＝an＋bn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和Sn.20.(本小题满分10分)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y＝22x,且焦距为23.(1)求双曲线C的方程；(2)设点A的坐标为(3,0),点P是双曲线C上的动点，当|PA|取最小值时，求点P的坐标.四.选做题(注意：第21题(工科类)、22题(财经、商贸与服务类)为选做题，请考生选择其中一题作答.)21.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B所对的边长分别为a,b,且a＝6,b＝2,∠A＝60°.(1)求∠B；(2)设复数z＝a＋(bsinB)i(i为虚数单位)，求z4的值.22.(本小题满分12分)某工厂计划从运输公司租用甲，乙两种型号的货车，将100件A产品和280件B产品运送到某地，经试装，每辆甲型货车最多能同时装载A产品5件和B产品10件，每辆乙型货车最多能同时装载A产品6件和B产品20件.若甲、乙两种货车的每次运费分别为800元、1200元，则应如何安排才能使总运输费用最少？并求所需的总运输费用.参考答案：1.B2.D3.A4.C5.A6.B7.D8.C9.B10.D11.6012.513.714.24015.3316.解：(1)∵2x－1＞0,∴x＞0,∴函数的定义域为(0,＋∞)(2)∵loga(22－1)＝－1,∴a－1＝3,∴a＝13.17.解：(1)P(X为奇数)＝C12C12C24＝23.(2)X所有可能的取值为3,4,5,6,7.P(X＝3)＝1C24＝16,P(X＝4)＝1C24＝16,P(X＝5)＝2C24＝13P(X＝6)＝1C24＝16,P(X＝7)＝1C24＝16,∴X的分布列为：X34567P1616131616P(X≥4)＝1－P(X＝3)＝56.18.解：(1)∵→a→b＝2×(－1)＋1×m＝m－2,由→a⊥→b知：→a→b＝0，∴m＝2(2)∵→a→b＝m－2，|→a|＝5,|→b|＝1＋m2∴cos→a,→b≥→a→b|→a||→b|＝m－25(1＋m2),当m＜2时，cos→a,→b＜0,∴→a,→b是钝角.19.解：(1)设数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d,则有：a1＋d＝5a1＋2d＝8，∴a1＝2,d＝3{an}的通项公式为an＝3n－1.(2)设数列{an}的前n项和为S′n,数列{bn}的前n项和为S″n，那么数列{cn}的前n项和Sn＝S′n+S″n.而S′n＝2n＋12n(n－1)×3＝32n2＋12n易知：数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，∴S″n＝2n－1∴Sn＝32n2＋12n＋2n－1.20.解：(1)由题意得：2a2＋b2＝23ba＝22,解得：a＝2b＝1,∴双曲线C的方程为：x22－y2＝1.(2)设点P(x,y),则有y2＝x22－1.|PA|＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋x22－1＝3x22－6x＋8＝32(x－2)2＋2当x＝2时，|PA|取得最小值2，此时P点的坐标为(2,±1).21.解：(1)∵asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝2×sin60°6＝22又∵a＞b,∴∠A＞∠B,∴∠B＝45°.(2)法一：由(1)知：z＝6＋2i,∴z2＝(6＋2i)2＝4＋43i.z4＝(4＋43i)4＝－32＋323i.法二：由(1)知：z＝6＋2i＝22(32＋12i)＝22(cos30°＋isin30°)∴z4＝(22)2(cos120°＋isin120°)＝64(－12＋32i)＝－32＋323i22.解：设租用甲，乙两种型号的货车各x辆、y辆，总运费为Z元，依题意建立如下线性规划模型：约束条件：5x＋6y≥10010x＋20y≥280x∈N，y∈N，即：5x＋6y≥100x＋2y≥28x∈N，y∈N目标函数：Zmin＝800x+1200y画出可行域如右图，可知在A点处有最优解.由5x＋6y＝100x＋2y＝28解得：x＝8y＝10即A点的坐标为A(8,10)∴当x=8,y=10时，Zmin＝800×8+1200×10＝18400(元)答：租用甲，乙两种型号的货车各8辆、10辆时，总运费最少为18400元.5x+6y=100A2x+3y=0x+2y=28xyO