D3-2-2 定积分几何应用 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

定积分的几何应用举例一、平面图形的面积二、旋转体体积微元法一、平面图形的面积设曲线y=f(x)(x0)与直线x=a,x=b(ab)及x轴所围曲边梯形的面积为A,则xyo)(xfyabxxxd如右下图所示图形的面积：xyo)(1xfy)(2xfyabxxxd,d)(dxxfA.d)(baxxfA,d)]()([d12xxfxfA.d)]()([12baxxfxfA解例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积.得两曲线交点,)1,1(,)0,0(面积微元,d)(d2xxxAxxxAd)(21010333223xx.31问题：积分变量只能选x吗？22xyxy由解例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积.得两曲线交点,)1,1(,)0,0(面积元素,d)(d2yyyAxyyAd)(21010333223yy.3122xyxy由解题步骤：1.画图形：根据题意画出平面图形.4.算微元：写出微元(面积元素)dA.2.求交点：求出边界曲线的交点.5.做积分：求出.dbaAA3.定区间：确定一个积分变量的变化区间[a,b].例2计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解得两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy由xy224xy,d)24(d2yyyA422d)24(yyyA423261421yyy.18例4求椭圆12222byax的面积.解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．axyA0d4当a=b时得圆面积公式adxaxbA02214......,ddxyAba作业答案：1/6,1,32/3,32/3旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积1、绕x轴旋转所得旋转体体积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间]d,[xxx，取以xd为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，xxfVd)]([d2xyo旋转体的体积为)(xfy解题步骤：1.画图形：根据题意画出图形.4.算微元：写出体积微元dV.2.定区间：确定一个积分变量的变化区间[a,b]5.做积分：求出.dbaVV3.求半径：f(x).yr解hPxhry取积分变量为x，],0[hx在],0[h上任取小区间]d,[xxx，xo直线OP方程为例1如图的直角三角形绕x轴旋转的旋转体的体积．以xd为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为xxhrVdd2圆锥体的体积xxhrVhd20hxhr03223.32hr例计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解则(利用对称性)当b=a时,就得半径为a的球体的体积)()(22222axaxaaby12222byax求体积：抛物线y2=4x,x=2,y=0,绕x轴旋转8)4(202dxxV2、绕y轴旋转所得旋转体体积类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddcyyVd)]([2轴绕y,0,1,2xyxy轴绕y,0,1,2xyyx轴绕y,,22xyyx例题52,5,2作业：（1）绕x轴；（2）绕y轴2,21:)2(~~~~~152,6:)1(2ee