数列的概念

一、数列的概念1.定义按一定次序排列的一列数叫做数列.2.数列是特殊的函数从函数的观点看数列,对于定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数来说,数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值,其图象是无限个或有限个孤立的点.注:依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列的问题.二、数列的表示1.列举法2.图象法3.通项公式法若数列的每一项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达,即an=f(n),则an=f(n)叫做数列的通项公式.4.递推公式法如果已知数列的第一项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做数列的递推公式.注:递推公式有两要素:递推关系与初始条件.三、数列的分类1.按项数：有穷数列和无穷数列；2.按an的增减性：递增、递减、常数、摆动数列；3.按|an|是否有界：有界数列和无界数列.四、数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an=ak;nk=1an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).五、数列的单调性设D是由连续的正整数构成的集合,若对于D中的每一个n都有an+1an(或an+1an),则称数列{an}在D内单调递增(或单调递减).方法：作差、作商、函数求导.六、重要变换an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);an=a1….anan-1a2a1a3a2典型例题1.若数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则当n≥2时,{an}的通项an=.2.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为,这个数列的前n项和Sn的计算公式为.3.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(对于所有n≥1),且a4=54,则a1的数值为.a1(3n-1)24.在数列{an}中,a1=,an+1-an=,求数列{an}的通项公式.124n2-11n!2an=324n-24n-3an=n为奇数时,Sn=n-;n为偶数时,Sn=n.1252525.已知数列{an}的前n项和Sn满足:log2(1+Sn)=n+1,求数列{an}的通项公式.6.设数列{an}的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,3,…);数列{bn}满足:b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,3,…).求数列{an}、{bn}的通项公式.3,n=1,2n,n≥2.an=an=2n-1bn=2n-1+27.设数列{an}的前n项和Sn=3n2-65n,求数列{|an|}的前n项和Tn.-3n2+65n,n≤11,3n2-65n+704,n≥12.Tn=8.已知数列{an}的通项an=(n+1)(),问是否存在正整数M,使得对任意正整数n都有an≤aM?n109∴当n8时,an+1an,{an}单调递增；当n8时,an+1an,{an}单调递减.而a8=a9,即a1a2…a8=a9a10a11…,∴a8与a9是数列{an}的最大项.故存在M=8或9,使得an≤aM对n∈N+恒成立.解:∵an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n119119=()n.119108-n9.求使得不等式+++…+2a-5对n∈N*恒成立的正整数a的最大值.13n+11n+11n+21n+3解:记f(n)=+++…+,考察f(n)的单调性.13n+11n+11n+21n+3∴f(n+1)f(n),∵f(n+1)-f(n)=++-13n+213n+313n+41n+1=+-13n+213n+423n+3=0,2(3n+2)(3n+3)(3n+4)[评析]数列的单调性是探索数列的最大项、最小项及解决其它许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握求数列单调性的程序.∴当n=1时,f(n)有最小值f(1)=++=.1213141213要使题中不等式对n∈N*恒成立,只须2a-5.1213∴正整数a的最大值是3.解得a.2473课后练习1.根据下列数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,,-,,-,,…;3436321315(2)5,55,555,….an=(-1)n2+(-1)nnan=555…5=(999…9)=(10n-1)n个59n个59(3)-1,7,-13,19,…;(4)7,77,777,7777,…;(5),,,,,…;236389910154356(6)5,0,-5,0,5,0,-5,0,….an=(-1)n(6n-5)an=(10n-1)79an=2n(2n-1)(2n+1)an=5sin2n2.已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式:(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n2+n+1;(3)Sn=3n-2.解:(1)当n=1时,a1=S1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-5,故an=4n-5(nN*).(2)当n=1时,a1=S1=5;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-2,故an=5,n=1,6n-2,n≥2.(3)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=23n-1,故an=1,n=1,2∙3n-1,n≥2.3.已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).(1)求a2,a3;(2)证明:an=.3n-12(1)解:∵a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),∴a2=32-1+a1=3+1=4,∴a3=33-1+a2=9+4=13.故a2,a3的值分别为4,13.(2)证:∵a1=1,an=3n-1+an-1,∴an-an-1=3n-1.∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+32+…+3n-13n-12故an=.3n-123n-13-13-1==.4.设函数f(x)=log2x-logx2(0x1),数列{an}满足f(2an)=2n,n=1,2,3,….(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断数列{an}的单调性.解:(1)由已知log22an-=2n,log22an1∴an-=2n,1an即an2-2nan-1=0.解得an=nn2+1.故an=n-n2+1(nN*).∵0x1,即02an1,∴an0.(2)∵=an+1an(n+1)-(n+1)2+1n-n2+1(n+1)+(n+1)2+1n+n2+1=1.而an0(nN*),∴an+1an.故数列{an}是递增数列.5.已知数列{an}的通项an=(n+1)()n(nN*),试问该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.1110∴当n9时,an+1-an0,即an+1an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.∴数列{an}有最大项,其项数为9或10,其值为解:∵an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n11101110=()n∙.1110119-n当n=9时,an+1-an=0,即a10=a9;10∙()9.1110解法二:由an≥an+1an≥an-1(n+1)()n≥n()n-111101110(n+1)()n≥(n+2)()n+111101110(n+1)()≥n1110n+1≥(n+2)()11109≤n≤10.∴数列{an}有最大项,其项数为9或10,其值为10∙()9.1110a11a12a13…a1na21a22a23…a2n………an1an2an3…ann6.已知n2个(n≥4)正数排成n行n列方阵,其中每一行的数都成等差数列,每一列的数都成等比数列,并且所有公比都等于q.若a11=,a24=1,a32=,(1)求公比q的值;1214(2)求a1k(1≤k≤n)的值;(3)记第k行各项和为Ak,求A1及{Ak}(1≤k≤n)的通项公式.解:(1)依题意可设第一行公差为d,各列公比为q(q0),则有:a24=a14q=(a11+3d)q,a32=a12q2=(a11+d)q2,12(+3d)q=1,(+d)q2=,1214即:解得:q=d=.1212故公比q的值为.1212(2)a1k=a11+(k-1)d=+(k-1)=.k2n212(3)A1=a11+a12+a13+…+a1n=(+)=.n2n(n+1)4Ak=ak1+ak2+ak3+…+akn=qk-1A1=()k-1∙=.12n(n+1)4n(n+1)2k+17.已知数列{2n-1∙an}的前n项和Sn=9-6n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=n(3-log2),求数列{}的前n项和.|an|3bn1解:(1)当n=1时,20a1=S1=9-6=3,∴a1=3;当n≥2时,2n-1an=Sn-Sn-1=-6,故an=-,n≥2.3,n=1,2n-23∴an=-.2n-23(2)当n=1时,b1=3-log21=3,∴=;b1113当n≥2时,bn=n(3-log2)=n(n+1),32n-23bn1∴=-.n1n+1156=-.n+11∴++…+=+(-)+…+(-)b11b21bn113n11213n+118.已知数列{an},{bn}满足a1=1,a2=a(a为常数),且bn=anan+1,其中,n=1,2,3,….(1)若{an}是等比数列,试求数列{bn}的前n项和Sn的公式.解:∵{an}是等比数列,a1=1,a2=a,∴a0,an=an-1.又bn=anan+1,∴b1=a1a2=a,且有:bn+1bnanan+1an+1an+2===a2.an+2an∴{bn}是以a为首项,a2为公比的等比数列.当a=1时,Sn=1+1+…+1=n;当a=-1时,Sn=-1-1-…-1=-n;当a1时,Sn=.1-a2a(1-a2n)1-a2a(1-a2n)故Sn=n,a=1,-n,a=-1,,a1.(2)当{bn}是等比数列时,甲同学说:{an}一定是等比数列,乙同学说:{an}一定不是等比数列.你认为他们的说法是否正确?为什么?解:甲,乙两个同学的说法均不正确,理由如下:设{bn}的公比为q,则:bn+1bnanan+1an+1an+2===q,且a0.an+2an又∵a1=1,a2=a,∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以1为首项,q为公比的等比数列.a2,a4,a6,…,a2n,…是以a为首项,q为公比的等比数列.即{an}为:1,a,q,aq,q2,aq2,….当q=a2时,{an}是等比数列,当qa2时,{an}不是等比数列.法二:举例说明{an}可能是等比数列,也可能不是:设{bn}的公比为q,取a=q=1,则:an=1(nN*).此时bn=1,{an}与{bn}都是等比数列;取a=2,q=1,则:an=,bn=2.1(n为奇数)2(n为偶数)此时{bn}是等比数列,而{an}不是等比数列.微信刷票择/所有の利害关系他已经早早地向她说清楚/假设她将来想离开/他也会痛痛快快地答应/既然霍沫打定咯主意/他又有君子有成人之美/念及此他复又开口说道：/后悔别后悔那是以后の事情/将来假设您后悔咯/爷也会成全您/决别会有半点阻拦/爷说到做到/那壹点/您完全可以相信爷/至于现在/既然您愿意随爷进府/那就先那么着吧///多谢爷//见到王爷终于点头同意/霍沫激动得别晓得说啥啊才好/除咯壹句/多谢/以及涨得通红の脸颊之外/眼中竟然壹下子湿润起来/王爷当然看到咯霍沫の那各小小の心理变化/生怕那盈盈泪光别多时就要泛滥成泪海/王爷赶快开口转移话题：/爷别是说过咯嘛/以后别要再说啥啊谢别谢の/举手之劳/何足挂齿？以后若是再那各样与爷生分/爷可就要生气咯//王爷壹边说着/壹边壹脸肃容起来/令霍沫别敢再谦逊啥啊/唯有赶快应承道：/回爷/霍沫晓