2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件3(3)： 平面向量

§3平面向量真题热身1．(2011·湖北改编)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角为________．解析2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝32，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则cosα＝932×3＝22，∴α＝π4.π42．(2011·重庆改编)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为________．解析a＋b＝(1，k)＋(2,2)＝(3，k＋2)．∵a＋b与a共线，∴k＋2－3k＝0，解得k＝1.∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝4.43．(2011·课标全国)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝____.解析∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcosθ－cosθ＝0.(θ为a与b的夹角)∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a与b不共线，∴cosθ≠－1，∴k＝1.14．(2011·天津)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________．解析方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA→＝(2，－x)，PB→＝(1，a－x)，∴PA→＋3PB→＝(5,3a－4x)，|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.方法二设DP→＝xDC→(0x1)，∴PC→＝(1－x)DC→，PA→＝DA→－DP→＝DA→－xDC→，PB→＝PC→＋CB→＝(1－x)DC→＋12DA→，∴PA→＋3PB→＝52DA→＋(3－4x)DC→，|PA→＋3PB→|2＝254DA→2＋2×52×(3－4x)DA→·DC→＋(3－4x)2·DC→2＝25＋(3－4x)2DC→2≥25，∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.答案5考点整合1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．3．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b⇔a·b＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．分类突破一、平面向量的基本运算例1如图，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析方法一如图，OC→＝OB→1＋OA→1，|OB→1|＝2，|OA→1|＝|B1C→|＝4，∴OC→＝4OA→＋2OB→.∴λ＋μ＝6.方法二由OC→＝λOA→＋μOB→，两边点乘OC→，得OC→2＝λOA→·OC→＋0，∴λ＝4.∴OC→＝4OA→＋μOB→，两边点乘OA→，得OC→·OA→＝4＋μOA→·OB→，即3＝4＋(－12)μ.∴μ＝2.∴λ＋μ＝6.方法三以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0)，C(23cos30°，23sin30°)，B(cos120°，sin120°)．即A(1,0)，C(3，3)，B(－12，32)由OC→＝λOA→＋μOB→得，λ－12μ＝3，32μ＝3.∴μ＝2λ＝4.∴λ＋μ＝6.答案6归纳拓展由于向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也因为这两种不同的表示而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总可有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．变式训练1如图，O是△ABC内的一点，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量OA→、OB→、OC→的模分别为2、1、3.(1)求AB→·OC→的值；(2)若OC→＝mOA→＋nOB→，求实数m、n的值．解(1)由题意：OB→⊥OC→.∵AB→＝OB→－OA→，OA→·OC→＝－3，OB→·OC→＝0，∴AB→·OC→＝(OB→－OA→)·OC→＝OB→·OC→－OA→·OC→＝3.(2)方法一以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(2,0)，B(cos150°，sin150°)，C(3cos240°，3sin240°)，即A(2,0)，B(－32，12)，C(－32，－332)．由mOA→＋nOB→＝OC→，得2m－32n＝－32，12n＝－323，即m＝－3n＝－33.方法二由OC→＝mOA→＋nOB→得，OC→2＝mOA→·OC→＋nOB→·OC→，①OC→·OB→＝mOA→·OB→＋nOB→2.②∴－3m＝9，①－3m＋n＝0，②∴m＝－3，n＝－33.二、向量的平行与垂直例2设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.(1)解因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.因此tan(α＋β)＝2.(2)解由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|＝(sinβ＋cosβ)2＋(4cosβ－4sinβ)2＝17－15sin2β≤42.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42(3)证明由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ，所以a∥b.归纳拓展向量与三角函数结合是高考命题的一大热点，在解决有关向量的平行、垂直问题时，先利用向量的坐标运算，再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程．变式训练2设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长为a、b、1，已知向量u＝a(cosB，sinB)，v＝b(cosA，－sinA)．(1)如果u⊥v，指出△ABC的形状，并说明理由；(2)求|u＋v|.解(1)由u⊥v知u·v＝0，即[a(cosB，sinB)]·[b(cosA，－sinA)]＝0，∴cosBcosA－sinBsinA＝0，∴cos(A＋B)＝0，又∵0A＋Bπ，则A＋B＝π2，因此△ABC为直角三角形．(2)由u＝a(cosB，sinB)，v＝b(cosA，－sinA)知|u|＝a，|v|＝b，cos〈u，v〉＝u·v|u||v|＝abcos(A＋B)ab＝cos(A＋B)＝－cosC，|u＋v|2＝u2＋v2＋2u·v＝u2＋v2＋2|u||v|cos〈u，v〉＝u2＋v2＋2|u|·|v|(－cosC)＝a2＋b2－2abcosC＝1，∴|u＋v|＝1.三、向量与三角函数的综合应用例3已知向量m＝(3sinx4，1)，n＝(cosx4，cos2x4)．(1)若m·n＝1，求cos(2π3－x)的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解(1)m·n＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋12·cosx2＋12＝sin(x2＋π6)＋12.又∵m·n＝1，∴sin(x2＋π6)＝12.cos(x＋π3)＝1－2sin2(x2＋π6)＝12，cos(2π3－x)＝－cos(x＋π3)＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0.∴cosB＝12，又∵0Bπ，∴B＝π3.∴0A2π3.∴π6A2＋π6π2，12sin(A2＋π6)1.又∵f(x)＝m·n＝sin(x2＋π6)＋12，∴f(A)＝sin(A2＋π6)＋12.故函数f(A)的取值范围是(1，32)．归纳拓展平面向量与三角函数结合的这类题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后利用三角函数基本公式求解．解决该类题目涉及的知识有：①向量的坐标表示，向量的加法与减法；②实数与向量的积，两向量的数量积；③两向量平行、垂直的充要条件；④向量的夹角、长度等．变式训练3已知向量a＝(sin(ωx＋φ),2)，b＝(1，cos(ωx＋φ))(ω0,0φπ4)，函数f(x)＝(a＋b)·(a－b)，y＝f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且过点M(1，72)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)当－1≤x≤1时，求函数f(x)的单调区间．解(1)f(x)＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝sin2(ωx＋φ)＋4－1－cos2(ωx＋φ)＝－cos(2ωx＋2φ)＋3，由题意得周期T＝2π2ω＝4，故ω＝π4，又图象过点M(1，72)，所以72＝3－cos(π2＋2φ)．即sin2φ＝12，而0φπ4，所以2φ＝π6，∴f(x)＝3－cos(π2x＋π6)．(2)当－1≤x≤1时，－π3≤π2x＋π6≤2π3，∴当－π3≤π2x＋π6≤0时，即x∈[－1，－13]时，f(x)是减函数．当0≤π2x＋π6≤2π3时，即x∈[－13，1]时，f(x)是增函数．∴函数f(x)的单调递减区间是[－1，－13]，单调递增区间是[－13，1]．规范演练一、填空题1．(2011·北京)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________.解析a－2b＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，又∵a－2b与c共线，∴a－2b∥c，∴3×3－3×k＝0，解得k＝1.12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若AB→·AC→＝BA→·BC→＝1，那么c＝________.解析由题知AB→·AC→＋BA→·BC→＝2，即AB→·AC→－AB→·BC→＝AB→·(AC→＋CB→)＝(AB→)2＝2⇒c＝|AB→|＝2.23．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状为____________．解析∵AB→＝(2－1,3－2)＝(1,1)，AC→＝(－2－1,5－2)＝(－3,3)，∴AB→·AC→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AC→.∴△ABC是直角三角形．直角三角形4．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．解析由题意：c＝－(a＋b)，又因为(a－b)⊥c，a⊥b，可得(a－b)·