电工与电子技术第2章

第二章电路的暂态分析(TransientAnalysisOfCircuit)概述§2.1换路定则及暂态过程初始值的确定§2.2一阶电路的暂态响应§2.3一阶电路暂态分析的三要素法§2.4RC电路对矩形脉冲的响应电容未充电原稳态:uC=0概述:电容充满电新稳态:uC=US♣“稳态”与“暂态”:当含储能元件的电路发生变化,从原来的稳定状态到新的稳定状态,需要经过一段暂态过程(过渡过程)。分析暂态过程可防止发生工程事故或改变信号波形。只要求掌握一阶电路在直流电源作用下的暂态分析。暂态过程中u(t)、i(t)的变化规律称为暂态响应。S闭合RUS+_CSuCCSRUS+_uC电容充电过程暂态uC(t)电路含储能元件C换路一、产生暂态过程的原因uR、iR没有暂态过程电阻电路t=0USR+_IR、URS电阻不是储能元件,其电流和电压均可突变。2.1换路定则及暂态过程初始值的确定1.外因:电路发生换路:电源接通或断开,某支路短路或开路,参数突然变化等2.内因:电路含储能元件:储能元件上能量变化需要逐渐积累或消失的过程。p=dW/dt,当p有限,则W不能突变uR、iRtUStCu电容为储能元件，储存的电场能量与电压有关:电容电路因能量不能突变，所以电容上的电压不能突变。200021CuuduCudtdtduCidtuWuttC∫==∫=∫=原稳态uC=0新稳态uC=USS闭合瞬间uC(0)=0USSR+_CuCt=0*电容电压uC不能突变分析电路关系:CCRCRUudtduuiC+=+=对S闭合后的电路,列KVL:)(dtduCiC=RC电路称为一阶电路求解uC需要初始值发生突变，若一般不可能则→∞dtduCcu需要i→∞USSR+_CuCt=0电感电路电感为储能元件，储存磁场能量，磁场能量为:200021LiidiLidtdtdiLdtuiWittL∫==∫=∫=SRUS+_t=0iLtLiRU因能量不能突变，所以电感上的电流iL不能突变。原稳态iL=0新稳态iL=U/RS闭合瞬间iL(0)=0电容电压uC不能突变，电感电流iL不能突变。设t=0时换路−0+0---换路前的瞬间---换路后的瞬间)0()0(−+=CCuu)0()0(−+=LLii则有:二、换路定则0t换路暂态过程t=0-t=0+换路定则只对uC和iL,其他电量都会发生突变(当电路中u、i为有限值)换路前后虽电路不同,但换路后瞬间uC和iL保持不变。三、确定初始值暂态过程的初始值要由换路定则确定。只有uC和iL符合换路定则，其他电量的初始值均可突变，要根据uC(0+)和iL(0+)求得。初始值：暂态过程起点,刚换路(t=0+)时u、i的值。)0()0(−+=CCuu)0()0(−+=LLii求暂态过程初始值:先求uC(0-)和iL(0-),由换路定则得uC(0+)和iL(0+),再由uC(0+)和iL(0+),求其他u(0+)和i(0+)。例1：设uC(0-)=0，求换路后初始值uC(0+)、i(0+)、uR(0+)0V)(0)(0==−+CCuu根据换路定则:SRUS+_CCuit=0Ru?)(=∞Ci?)(=∞CuUS0t=0+时,uC=0,电容相当于短路t→∞时,iC=0,电容相当于断路KVL:USuCUS=−(0+))=0+(uRRUSRuRi==+)0()0+(变量值需标明时刻：uC(0-)、uC(0+)、uC(∞)、uC(t)t→∞结束暂态,进入新稳态i和uR均发生突变例2:求uC(0+)、iC(0+),设S动作前电路稳定US=12V,R1=2kΩ,R2=4kΩ,C=1μF=(0-)Cu8V42412RRRU212S=+×=+根据换路定则：V8)0()0(==−+ccuu=+)0(CimA248R)(02−=−=−+Cu0)(0)(=∞=∞CCiut=0+时,电容相当于恒压源t→∞时,电容相当于开路R1R28Vt=0+iC(0+)+-SR1US+_CCuCiR2t=0新的稳态换路后电路KVL:解:根据换路定则V20020)R0(U)0(S=−=−=++LLiu例3:已知:R=1kΩ,L=1H,US=20V设t=0时，S闭合求:iL(0+)和uL(0+)?)(=∞Li?)(=∞LuiL(0+)=0,电感相当于开路20mA0iL(0+)=iL(0-)=0iLSt=0uLuRRLUS_+t→∞,电感相当于短路解：先求iL(0+)例4设原电路稳定,发电机励磁线圈L=1H,R=20Ω,连接电源US=10V,电压表量程50V,内阻10kΩ。S在t=0打开,求初始值uLS+uLVRuRUS_10V200.5R)0()0(=×=×=++LRiu5010V105000)(0)0()(0−=−−=−=+++RLuuuV0005101050R)0()0(30−=××=×−=++.iuLt=0+,电感相当于电流源0.5A)0()0(===−+RUSiiLL)0(,)0(,)0(+++uuuRLt=(0+)LVRuL(0+)u(0+)iL(0+)uR(0+)A5.0)0()0(==−+LLiiV5000)(0−=+u实际中,不能在线圈两端并联电压表。保护措施:在线圈两端并联放电二极管,提供续流回路释放磁能,避免电感支路断开时产生高压。工况环境下在开关和继电器等器件上加密封罩和灭弧装置。SUSLRiLuuLS+uLVRuRUS_例2.1.1设开关S闭合前,电路稳定。求电路换路后的初始值:i(0+)、iC(0+)、iL(0+)、uC(0+)、uL(0+)St=0R12ΩR2R3uLLuC6v-+iCCiLi4Ω4ΩU解：换路前电路未储能，即:uC(0-)=0V,iL(0-)=0A换路定则：uC(0+)=0V,iL(0+)=0A,t=0+2ΩuLLuC6v-+iCCiLi4Ω4Ωi(0+)=1A,iC(0+)=1A,uL(0+)=4V画t=0+时刻电路,求小结由于uC和iL不能突变,换路后瞬间uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-)；其它电量均可突变,初始值需由uC(0+)和iL(0+)来决定。1.画换路前(t=0-)电路，求uC(0-)和iL(0-)若换路前电路稳定，则C开路，L短接电感相当于恒流源iL(0+)，若iL(0+)=0，L视为断路。电容相当于恒压源uC(0+)，若uC(0+)=0，C视为短路；3.画换路后t=0+时刻的等效电路求其他初始值：2.按换路定则：uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)求初始值的步骤:4.冲激信号破坏换路定则,用能量守恒求uC(0+)和iL(0+)2.2一阶线性电路的暂态响应+-USRCuRuCit=0+-USRCuRuCit=0+-USRCuRuCit=0US+-根据KCL、KVL和VAR,列出电路方程为一阶微分方程,则称为一阶电路。如RC或RL电路。零输入响应:换路后,无独立电源,稳态值=0,由储能元件释放能量而引起暂态响应。零状态响应:换路前,储能元件无储能,即:uC(0+)=0,iL(0+)=0,换路后对储能元件充电而引起暂态响应。全响应:uC(0+)≠0,iL(0+)≠0,稳态值≠0且与初值不同。2.2.1RC电路的暂态响应τ/euut0CRU−−=−=τ/euit0RRUR−−==设电路已达稳态,t=0换路,换路后的电路方程：0U)(0)(0==−+CCuu0=+uCdtduCRC{代入初始条件：A=U0其解:时间常数：τ=RCsiR+uC=0,i=CduCdt(t＞0)(t≥0)RCteU0uC(t)=−RCtAeuC(t)=−(t≥0)teU0uC(t)=−τ+-U0RCuRuCit=0τ/tCeu−=0Uτ/tReu−−=0Uτ/tei−−=RU0一阶RC零输入电路的暂态响应曲线τ=RC越大,暂态过程越长CuRuiRU0−0U−0Ut0(t＞0)(t＞0)(t≥0)+-U0RCuRuCit=0为RC放电过程RC电路的暂态响应Cut0理论上t→∞,电路才达到稳态,而工程上认为经过3τ−5τ时间,电路基本达到新的稳态,暂态过程结束0.368U0τ1τ2时间常数τ决定暂态过程的快慢,τ愈大暂态过程愈长C大,储能多,R大,放电电流小,使放电过程加长。τ=RCU0t0τ2τ3τ4τ5τU00.368U00.135U00.05U00.02U00.007U0τtceu0U−=τ/tCeu−=0U)0(≥t)1)(((t)τ/tLLeii−−∞=RL=τ2.2.2RL电路的暂态响应SU=+LLRidtdiL电路KVL:通解即暂态分量:特解即稳态分量:RUS=′LitLRLA−=eitLRLei−+=ARU(t)S代入初始条件:)eitLRL−−=(1RU(t)S)1)((tLRL−−∞=eiRUAS−='LLLiii+=其解为:iL(0+)=iL(0-)=0RUS=+LLidtdiRL齐次通解特解(t≥0)一阶非齐次微分方程iLSt=0uLuRRLUS_+RL电路0状态响应曲线US0tRUS)(1USτ/tReu−−=τtLLedtdiLu−==SU(t＞0)uRuLiL)1(RUSτ/tLei−−=L大储能多,R小耗能慢,暂态过程加长(t≥0)RL电路的暂态响应(t＞0)RL=τiLSt=0uLuRRLUS_+一阶电路0状态响应初始值为0：即：uC(0)=0，iL(0)=00状态响应的表达式:f(t)=f(∞)(1-e-t/τ)f(∞)为换路后的稳态值一阶电路0输入响应换路后的稳态值为0：即：f(∞)=00输入响应的表达式为：f(t)=f(0)e-t/τf(0)为换路后的初始值电路的时间常数:τ=RC、τ=L/R例：t=0时S闭合,求换路后电感电流iL(t)解:iL(0+)=iL(0-)=0,为零状态响应200Ω100200//200R=+=V2U0=10mAA102002RU200====∞−)(iLs102002RL2−===τiL4V2HS(t=0)+200Ω100Ω200Ω_将S左端等效为戴维宁电路:(t≥0)mAeiittLL)1(10)e1)((100−−−=−∞=τiitLL)e1)((−−∞=τiL2V+100Ω_100Ω2HS(t=0)全响应解=稳态分量+暂态分量如RC电路:解为：uC(t)=uC'+uC非齐次一阶微分方程由元件储能和电源共同作用产生的响应三、全响应设t=0时S动作,0CU0=−)(uUutuRCCC=+dd0)0()0(UuuCC==−+uC'=U代入初始条件得：A=U0−UτtCAU−+=euτtCA−=eu暂态分量+-U0RCuRuCit=0U+-τtCUUUu−−+=∴e)(0稳态分量)()e(eu0t1UUtt0C≥−+=−−ττ全响应=零输入响应+零状态响应)0()(0≥−+=−teUUUutCτ[])0()()0()(≥∞−+∞=−+teuuuutCCCCτUU0uCUU0uC0ttuC0UuCU0UU0+-U0RCuRuCit=0U+-稳态分量暂态分量一阶暂态响应的一般表达式:全响应曲线：τteffftf−+∞−+∞=)]()0([)()(一阶电路暂态响应的表达式:其中三要素为电路换路后的:)(tf为一阶电路中任一电压或电流暂态响应式中f(0+)—初始值f(∞)—稳态值τ—电路的时间常数τ=RC或τ=L/R2.3一阶电路暂态分析的三要素法τteffftf−+∞−+∞=)]()0([)()(f(0+)：1.画t=0-电路，求uC(0-)和iL(0-)f(∞)：画t→∞时刻的电路，电容断路，电感短接τ：求除电容或电感外的无源网络的等效电阻R，时间常数为：τ=RC或τ=L/R3.画t=0+时刻的电路，求其他初始值：电容相当于恒压源；电感相当于恒流源。2.按换路定则：uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)三要素法的求解步骤:三要素法表达式:例1：求t≥0时，uC(t)及响应曲线==−+)0()0(CCuuV1052IR1=×=5V(5//5)2)//RI(R)(21=×==∞Cus1052.)C//R(RRC321−×===τR等于从C两端看去的戴