2011届高考文科数学新课标江苏版专题4：直线、平面之间的位置关系

第9讲直线、平面之间的位置关系第９讲│直线、平面之间的位置关系主干知识整合第９讲│主干知识整合1．高考中，平行和垂直的判断与论证仍是考查的重点和热点，考查对概念、图形及相互位置关系的理解和掌握，考查在图形的变式和非标准图形中灵活运用概念和性质的能力．2．平行问题的转化：主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．第９讲│主干知识整合3．垂直问题的转化：主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．4．垂直和平行互相转化：垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一直线的两平面平行；两平行直线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．第９讲│主干知识整合5．用空间向量解决立体几何问题的必备知识：(1)设直线AB是平面α的斜线，向量n为平面α的一个法向量，则直线AB与平面α所成角的正弦值等于|cos〈AB→，n〉|＝AB→·n|AB→|·|n|；(2)设二面角的两个半平面α，β的一个法向量分别是n1，n2，则二面角的余弦的绝对值等于|cos〈n1，n2〉|＝n1·n2|n1|·|n2|；具体符号是正是负看二面角的大小．(3)设AB，CD是两条异面直线，则它们所成角的余弦值等于|cos〈AB→，CD→〉|＝AB→·CD→|AB→|·|CD→|第９讲│主干知识整合(4)设A是平面α外一点，O是平面α内任意一点，n为平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离是：d＝AO→·n|n|；(5)设AB，CD是两条异面直线，且n⊥AB→，n⊥CD→，则这两条异面直线之间的距离是：d＝AC→·n|n|＝AD→·n|n|；(6)设P为直线AB外一点，则点P到直线AB的距离是：d＝|PA→|2－PA→·AB→|AB→|2.要点热点探究第９讲│要点热点探究例1已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且BP＝QC，求证：PQ∥平面A1D1DA.图4－9－1►探究点一空间平行第９讲│要点热点探究【解答】过P作PE⊥DC于E，连接QE，则PE∥BC∥AD，∴△PDE∽△BDC，∴PDPB＝DEEC.又BP＝QC且BD＝CD1，∴PD＝QD1，∴QD1QC＝DEEC.∴QE∥DD1，∴平面PQE∥平面A1D1DA，又PQ⊂平面PQE，∴PQ∥平面A1D1DA.【点评】将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的一个重要策略，关键在于选择和添加适当的平面或线．第９讲│要点热点探究如图4－9－2所示，正方形ABCD和正方形ABEF不共面，M、N分别是对角线AC和BF上的点，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.图4－9－2第９讲│要点热点探究【解答】过点N作NQ∥FE，过点M作MP∥AB，分别交BE、BC于点Q、P，则MPAB＝MCAC，NQFE＝BNBF，在正方形ABCD和正方形ABEF中，∵AC＝BF，AM＝FN，AB＝FE，∴MP∴四边形MPQN为平行四边形，∴MN∥PQ.又∵PQ⊂平面BCE，MN⊄平面BCE，∴MN∥平面BCE.第９讲│要点热点探究例2在空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD.图4－9－3►探究点二空间垂直第９讲│要点热点探究【解答】一方面，要证AH⊥平面BCD，已有AH⊥BE，必须再证AH与平面BCD中的另一条直线垂直．另一方面，等腰三角形底边上的中线也是高，故一般常将底边中点取出，并与顶点连接．第９讲│要点热点探究∵BC＝AC，∴取AB的中点，设为F，连接CF，则CF⊥AB；同样因DA＝DB，连接DF，有DF⊥AB，而DF∩CF＝F，可见AB⊥平面DCF，AB与平面DCF中的所有直线都垂直，∴AB⊥CD，因AB∩BE＝B，又可得CD⊥平面ABE，∴CD⊥AH，又∵BE⊥AH，CD∩BE＝E，∴AH⊥平面BCD.第９讲│要点热点探究【点评】从此题看到，要证线面垂直(如证直线l⊥α)，必须在平面中找到两条相交直线与此线垂直(即在平面α中找到两条相交直线a，b与l垂直)，要证l⊥a，常转换为a垂直于包含l的平面β.这种利用“线线垂直与线面垂直”相互转化的解题方法，是解决线面垂直或线线垂直问题的重要方法与策略．第９讲│要点热点探究P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB，BC⊥平面PAB，M为PC的中点．N为AB上的点，且AN＝3BN，求证：AB⊥MN.图4－9－4第９讲│要点热点探究【解析】要证AB⊥MN，只要证AB⊥MN所在的某平面，或证MN⊥AB所在的某平面，后者从几何直观上易见不合适，所以要证AB⊥MN所在的某平面，首先在AB所在的平面PAB内与AB垂直的直线NF，这就要关心F在PB上的位置，另一方面要探究是否有MF⊥AB，至此思路已明朗．第９讲│要点热点探究【解答】取AB的中点E，PB的中点F，连接PE，FN，FM.∵PA＝PB，∴PE⊥AB，而FN为△PEB的中位线，∴PE∥FN，则FN⊥AB.∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，∵FM为△PBC的中位线，∴FM∥BC，则FM⊥AB，∵FN∩FM＝F，∴AB⊥平面FNM，又∵MN⊂平面FNM，∴AB⊥MN.第９讲│要点热点探究例3如图4－9－5所示，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，DB⊥BA，BD＝12AE＝2，O、M分别为CE、AB的中点，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．图4－9－5►探究点三利用空间向量解决立体几何中的有关问题第９讲│要点热点探究【解答】∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC＝AB，DB⊂面ABDE，∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．第９讲│要点热点探究∵AC＝BC＝4，∴各点坐标为C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,2)，E(4,0,4)，则O(2,0,2)，M(2,2,0)，CD→＝(0,4,2)，OD→＝(－2,4,0)，MD→＝(－2,2,2)，设平面ODM的法向量n＝(x，y，z)，则由n⊥OD→，且n⊥MD→可得－2x＋4y＝0，－2x＋2y＋2z＝0，令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1)，第９讲│要点热点探究设直线CD和平面ODM所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，CD→〉|＝n·CD→|n||CD→|＝2，1，1·0，4，2|2，1，1||0，4，2|＝66×25＝3010，∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为3010.第９讲│要点热点探究【点评】向量法求线面角的方法是：设直线l与平面α所成的角为θ，PC⊂l，C∈α，n为面α的法向量，则由sinθ＝|cos〈CP→，n〉|＝|CP→·n||CP→|·|n|求之；利用向量法求空间角，其操作只需按步骤进行，数值计算十分简单，对空间想象力和几何的逻辑推理能力要求不高，显得简洁明了．第９讲│要点热点探究如图4－9－6所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝2，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．(1)AF为何值时，CF⊥平面B1DF?(2)设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．图4－9－6第９讲│要点热点探究【解答】(1)因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝π2.以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．第９讲│要点热点探究从而B(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0，2，0)，B1(0,0,3)，A1(2，0,3)，C1(0，2，3)，D22，22，3.所以CA→1＝(2，－2，3)，设AF＝x，则F(2，0，x)，CF→＝(2，－2，x)，B1F→＝(2，0，x－3)，B1D→＝22，22，0.CF→·B1D→＝2×22＋(－2)×22＋x·0＝0，所以CF→⊥B1D→.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.由CF→·B1F→＝2＋x(x－3)＝0，得x＝1或x＝2，故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF.第９讲│要点热点探究(2)由(1)知平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)．设平面B1CF的法向量为n＝(x，y，z)，则由n·CF→＝0，n·B1F→＝0，得2x－2y＋z＝0，2x－2z＝0，令z＝1得n＝2，322，1，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为cos〈n，n1〉＝11×2＋92＋1＝3015.第９讲│规律技巧提炼1．平行中最重要的是线线平行的判定，当题目中给出中点条件时，往往隐含着中位线的信息因素，利用中位线很容易寻求线线平行．但不同三角形中的中位线效果也不一样，因此，寻求三角形的中位线也是解题的关键．对应线段成比例是平面几何中判断直线平行的重要依据，而线面平行的空间问题通过转化可变通为线线平行，因此，利用对应线段成比例寻求线线平行是一条行之有效的措施．规律技巧提炼第９讲│规律技巧提炼2．立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用．事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的．3．空间垂直问题的证明不能把线孤立于面之外，要善于利用平行线平移构造，再利用线线垂直与线面垂直相互转化，完成题目的证明．江苏真题剖析第９讲│江苏真题剖析[2010·江苏卷]如图4－9－7所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.图4－9－7(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．第９讲│江苏真题剖析【解答】(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，又PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC.第９讲│江苏真题剖析(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F，连接DE、DF，则：易证DE∥CB，∴DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由(1)知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD，因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F.易知DF＝22，故点A到平面PBC的距离等于2.第９讲│江苏真题剖析(方法二)等体积法：连接AC.设点A到平面PBC的距离为h.因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°.从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1.由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P－ABC的体积V＝13S△ABC·PD＝13.因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC.又PD＝DC＝1，所以PC＝PD2＋DC2＝2.由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝22.由VA－PBC＝VP－ABC，13S△PBC·h＝V＝13，得h＝2，故点A到平面PBC的距离等于2.第９讲│江苏真题剖析【点评】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．立体几何的复习要牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直(或平行)，转化为证线线垂直(或平行)；证面面垂直(或平行)，转化为证线面垂直(或平行)或证线线垂直(或平行)．从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本．我们在复习备考中，一定要依纲靠本，抓住基础，不要把过多的时间放在偏题、怪题上．