(高中数学4-5)一-不等式

1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算数-几何平均不等式两个实数大小比较:abab0⑴;abab0⑵;abab0⑶这一结论虽很简单,却是我们推导或证明不等式的基础.1.不等式的基本性质1、不等式的基本性质：①、对称性：传递性：_________②、，a+c＞b+c③、a＞b，，那么ac＞bc；a＞b，，那么ac＜bc④、a＞b＞0，那么，ac＞bd⑤、ab0，那么anbn.（条件）⑥、a＞b＞0那么（条件）nnbaabba,abbcac,abcR0c0c0cd,2nNn,2nNn运用不等式性质的关键是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。课堂练习:1.判断下列命题是否正确:(1)cabcba,()(2)bcacba()(3)22bcacba()(4)bdacdcba,()(5)bacbca22()(6)baba22()(7)22baba()(8)22baba()(9)dbcadcba0,0()×√××√××√×分析:比较大小,是作差→变形→定符号.变形方法有二种:1.分解因式；2.配方.解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)=432(22)(1)xxx=32(1)(1)(1)xxxx=3(1)(21)xxx=2(1)(1)(221)xxxx=2211(1)2()022xx∴AB43212,2(1),AxBxxx2.设比较A.B的大小.练习.设1n,且,1n求证:13nnn2.例2、已知ab0，cd0，求证：abdc例1、求证：如果ab0，cd0，那么acbd。证明：因为ab0,cd0，由不等式的基本性质（3）可得acbc,bcbd，再由不等式的传递性可得acbcbd练习1：如果ab,cd，是否一定能得出acbd？并说明理由..例3、若a、b、x、y∈R，则是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件()()0xyabxaybxaybC例5、已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。例4、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：（1）若cab0，则（2）若ab,，则a0，b0。abcacb11ab（真命题）（真命题）f(3)的取值范围是[-1,20]2.基本不等式22如果a，b∈R，那么a+b≥2ab，当且仅当a=b时等定理1：号成立。aabbb几何解释（基本不等式）a+b如果a，b0，那么≥ab，2当且仅当a=b时等定理2：号成立。算术平均数几何平均数几何解释OabDabACB可以用来求最值(积定和小，和定积大)两个正数的算术平均不小于它们的几何平均例3求证:1.在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大;2.在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短。结论：已知x,y都是正数.1.如果积xy是定值S那么当x=y时,和x+y有最小值2；2.如果和x+y是定值P,那么当x=y时,积xy有最大值S214PxyS周长L=2x+2y设矩形周长为L,面积为S,一边长为x,一边长为y,例4:某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元.(1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系式;(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.QDBCFAEHGPMN解:设AM=y米22200-42004xxyxyx因而2242002104802Sxxyy于是0102x课堂练习:⑴已知302x,求函数(32)yxx的最大值.解∵302x,∴0320xx且,∴(32)xx=12(32)2xx≤123222xx=324当且仅当34x时取等号.∴函数(32)yxx的最大值为324,当且仅当34x取得.⑵求函数22(3)3xyxx的最小值.解:∵3x,∴30x∴2222(9)181826333xxyxxxx=182(3)123xx≥24当且仅当182(3)3xx即6x时取等号.∴函数22(3)3xyxx的最小值为24,且当6x时取得.⑶求函数2232xyx的最小值.解:∵22222232112222xxyxxxx≥2∴函数2232xyx的最小值为2.上面解法错在哪?基本不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),但特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.解:∵22222232112222xxyxxxx又∵222x≥,又∵函数1ytt在1,t时是增函数.∴当0x时,函数y22122xx取得最小值322.⑶求函数2232xyx的最小值.3：三个正数的算术—几何平均不等式类比基本不等式得定理3：如果abcR、、，那么33abcabc≥，当且仅当abc时，等号成立.推广：对于n个正数123,,,naaaa，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即123123nnnaaaaaaaan≥(当且仅当123naaaa时取等号.)定理：设,,xyz都是正数，则有⑴若xyzS（定值），则当xyz时，xyz有最小值33.s⑵若xyzp（定值），则当xyz时，xyz有最大值3.27p例1求函数在上的最大值.()[,]211303yxx注：一正、二定、三等。练习1：θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值22422222232221sincos2sincoscos212sincoscos4(),232732sincos1sin,sin323.9ymax解：当且仅当即时取等号，此时y求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大.xyzvxyz解：设长方体的三边长度分别为x、y、z,则长方体的体积为222Sxyxzyz而略例2.如图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？ax2(2)0)2vaxxax解：依意有（题练习:1.已知0,0ab,2310ab,则32ba的最大值是____.2.已知0x，0y，且21xy，则11uxy的最小值是______________。3.函数28(1)1xyxx的最小值为______.4.现有两个定值电阻，串联后等效电阻值为R，并联后等效电阻值为r，若Rkr,则实数k的取值范围是_____.25322k≥48