3.1.1--回归分析的基本思想及其初步应用

(-)(-)-11ˆ,11,.222(-)-1111ˆˆ-.nnxxyyxynxyiiiiiibnnnnxxyyiixxxnxnniiiiiiaybx其中(,)xy称为样本点的中心12222221222221234562.23.85.56.57.04,5,55()()(2)(2.8)(1)(1.2)0(0.5)(1)(1.5)(2)(2)12.3,()(2)(1)01210,()(2.8)(1.2)(0.5)(1.5)(2)niiiniiniixyxxyyxxyy例2相关性分析：21221115.78,()()12.312.30.9792.1015.78157.8()()niiinniiiixxyyrxxyy1121...(1)“”.(2).(3).(4)(,)niiiniiiniiiiiiyyiiyxiiyynyyyyQyy由于可正可负，为避免相互抵消，取绝对值由于含绝对值，运算不方便，改用平方和由于求的最小值，即用这个偏差的和来刻画个点与此直线的整体偏差求的最小值求的最小值求211.nniiiyx取得最小值时，的值122221112211()()()()()()niiinniiiniiinniiiiixynxyxnxynxxyyrxxyyy3.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）高二数学选修2-3求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离和最小”.选变量画散点图选模型(线性)估计参数(a,b)分析和预测建立回归模型的基本步骤通过散点图,可直观地分析和了解两个变量是否存在相关关系,以确定回归模型．通过分析相关指数、随机误差（残差图），评价模型的好坏，进行预报．这也就是回归分析的基本思想．最小二乘法估计公式:探究1：你能推导出着两个计算公式吗？(推导思路见下一片；推导过程见课本)回归直线一定过样本点的中心！对于一组具有线性相关关系的数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),我们知道其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：ˆyx目的：使各样本点与这条直线的距离设回归方程为，越接近越好！(xi,yi)iiyxˆyx目的：使各样本点与这条直线的距设回归方程为，离越近越好！(xi,yi)iiyx21ˆˆ,,,.niiiabQyx从已经学过的知识知道截距和斜率分别是使取最小值时的值21,niiiQyxyxyx由于2122niiiiiyxyxyxyxyxyx21212,niiiniiiyxyxyxyxyxnyx1niiiyxyxyx注意到1niiiyxyxyx11nniiiiyxyxnyx0,yxnynxnyx2221211221211.niiniiniiiniiniiniiixxyynyxxxxxxxyyyyxx221,niiiQyxyxnyx所以22221112nnniiiiiiixxxxyyyynyx后两项与α,β无关前两项均为正且与α,β有关此项为0,Q有最小值.,,,,,0,Q在上式中后两项和无关而前两项为非负数因此要使取最小值当且仅当前两项的值均为即有121,.niiiniixxyyyxxx.这正是我们所要推导的公式.,基本思想及其应用进一步学习回归分析的下面我们通过案例2008年5月，中共中央国务院关于加强青少年体育、增强青少年体质的意见指出城市超重和肥胖青少年的比例明显增加.“身高标准体重”该指标对于学生形成正确的身体形态观具有非常直观的教育作用.“身高标准体重”从何而来？我们怎样去研究?1.创设情境：例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示：编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.问题呈现：女大学生的身高与体重分析：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图可以看出，样本点呈现条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系.ˆ0.84985.712yx解：1.由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x，体重为因变量y．ˆ0.849172-85.71260.316()ykg3.用公式求出回归方程：2.画散点图；本例中,可求得r=0.7980.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的.81iiixy821iixxy72315218774165.2554.5身高172cm女大学生可以预报其体重为:所以回归方程为:对回归模型进行统计检验探究2：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg.下图中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点.ˆˆˆybxa由于样本点不在同一条直线上，只是散布在某一条直线附近，所以身高与体重的关系可用线性回归模型:y=bx+a+e,……(3)来表示，其中a和b为模型的未知参数，e是y与bx+a之间的误差.通常e为随机变量，称为随机误差(randomerror),即e称为随机误差.它的均值E(e)=0,方差D(e)=σ2.这样线性回归模型的完整表达式为：一般假定均值为0,即期望各点都在直线y=bx+a上.真实值a,b,y思考：产生随机误差e的原因(主要来源)是什么？一个人的体重除了受身高的影响外，还受其他许多因素的影响.其主要来源是(误差越小,回归模型的拟合效果越好！)(1)用线性回归模型近似真实模型(真实模型是客观存在的，只是通常我们不知道真实模型到底是什么)所引起的误差.另外可能存在非线性的函数能够更好地描述y与x之间的关系，但是现在却用线性函数来表达这种关系，结果就会产生误差.这种由于模型近似所引起的误差都包含在e中.(2)忽略了某些因素的影响.因为影响变量y的因素不只是变量x一个.例如:遗传因素、饮食习惯、是否喜欢运动等，所引起的误差都包含在e中.(3)观测误差.由于测量工具等原因造成度量误差也包含在e中.事实上，我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么，这里只是利用线性回归方程来近似这种关系.这种近似以及上面提到的影响因素都是产生随机误差e的原因.探究3：在线性回归模型中，e是用bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么怎样研究随机误差呢？是真实值与估计值的差！思考：如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？ˆ0.84985.712,iiyx,iiieyy3335047.5812.419eyy如382.0883.2627.6137.1618.4419.2627.2373.6eˆ5943616454505748kg/170155165175170157165165cm/87654321残差体重身高编号残差图-8-6-4-2024680123456789编号残差31.3图22121()1()niiiniiyyRyy即在实际应用中应该尽量选择R2大的回归模型.例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需求量Y1210753解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyxyˆ7.41.151828.1.aˆ1.1528.1.yx回归直线方程为：5152215ˆ5iiiiixyxybxx26205187.41.15.1660518例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏.价格x1416182022需求量Y1210753列出残差表为521ˆ()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521ˆ()1()iiiiiyyRyy0.994因而，拟合效果较好.ˆiiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。——这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。小结::,需要注意下列问题用身高预报体重时.,,.,,..1系木的高与直径之间的关描述北方干旱地区的树方程的高与直径之间的回归在南方多雨地区的树木不能用生长同样之间的关系女运动员的身高和体重描述和体重之间的回归方程不能用女大学生的身高例如所研究的样本的总体回归方程只适用于我们.,8020,..2之间的关系描述现在的身高和体重方程建立的回归年代的身高体重数据所世纪能用不例如一般都有时间性我们所建立的回归方程.),ycm70x,cm170,cm155x,(,,..3显然不合适值时的程计算而用这个方的样本的取值范围为解释变量即在回归方程中重之间的关系就不恰当幼儿时期的身高和体那么用它来描述一个人立的建大学生身高和体重数据我们的回归方程是由女例如归方程的适用范围样本取值范围会影响回.,..4值的平均值它是预报变量的可能取事实上精确值的的预报值就是预报变量不能期望回归方程得到.xy,337.xy2之间的回归方程与试建立中观察数据列于表组现收集了有关和温度一只红铃虫的产卵数例33表325115662421117/y35322927252321C/0个产卵数温度05010015020025030035020222426283032343641.3图温度产卵数.41.3据作散点图根据收集的数解所以不能相关关系线性个变量不呈线因此两带状区域内某个布在有分并没样本点在散点图中,,,.cc,ecy,.21xc12是待定参数和其中的周围指数函数曲线某一条可以发现样本点分布在根据已有的函数知识系立两个变量之间的关建来直接利用线性回归方程.xy,.)cb,clna(abxz,ylnz..cc,2121了间的非线性回归方程之和型来建立就可以利用线性回